深度学习系列（3.2）——神经网络-sigmoid 神经元

1、weights、bias 参数学习

我们希望有一种学习算法，它能够自动地调整网络中的权重因子和偏置。 但是，我们怎样才能设计出这样的算法神经网络？可以通过学习来解决一些问题。假如，网络的输入是从扫描的原始像素数据，亦或是手写数字的图像。我们希望通过网络可以自动地学习权重和偏差，使输出从网络正确分类的数字。假设我们对网络上的一些权重（或偏置）做一些小的调整，并且希望网络上权重因子和偏差也仅有较小的变化，同样的在输出网络中也只产生一个小的改变。我们想象一下这样的参数学习能否为自适应的形式？如下图所示：

（1）

假设一个小的权重变化（或偏置）对输出也产生较小的影响，那么我们通过这一策略来修改的权重（weight）和偏置（bias），让网络学习到更多想要的规则。例如，假设在网络中图像“9”被误分为“8”时。可以通过校正权重和偏（每次做细小的改变），使网络变得更接近分类的图像为“9”。 最终网络将循环校正，不断调整权重（weight）和偏置（bias），使网络得到更好的输出结果。

问题并不是想象的这么简单，在一个网络的众多神经元当中，一个参数的细小改变，也许会发生天翻地覆的变化。实际上，在网络中的任何一个单一的感知器（神经元）的权重或偏差发生变化，即使是细微的变化，有时会导致输出完全相反，就像从 0 到 1 的变化。因此，虽然你的“9”可能被正确分类，但是网络中的感知器就很可能无法学习到为其它数字分类的‘规则’，这也就使得网络中参数学习变得极其困难。也许有一些聪明的方法来解决这个问题，显而易见这不是我们想要的结果。

2、sigmoid 神经元的引入

我们可以通过引入一种人工神经元（即 sigmoid neurons ）来克服这个问题。 Sigmoid 神经元类似感知器，它使权重和偏置的微小变化对输出也产生较小的变化，因而可以达到微调网络的目的。接下来描述下 sigmoid 神经元：
（2）

和感知器一样，这里 sigmoid 神经元有输入: x1,x2,x3,.... , sigmoid 神经元对于每一个输入都有 weights：w1,w2,w3,.... 和一个共有的偏置 b 。不同的是， sigmoid 的输入并不是只能为 0 or 1 ，它可以是 0 到 1 中的任意值。 输出也不仅仅是 0 or 1，取而代之的是 σ(w⋅x+b) 。 这里的 σ 就叫做 sigmoidfunctions 。 定义为：
（3）

上式中，将输入、即参数带入，形式上可以写为：
（4）

2.1、sigmoid 原理

仅从数学公式上看， sigmoid 神经元和感知器很不同。事实上，感知器和 Sigmoid 神经元之间有许多相似之处。

为了更详细地了解感知器模型，假设 z≡w⋅x+b 为一个极大的正数。 那么 e−z≈0 ，则 σ(z)≈1 。换句话说，也就是当 z≡w⋅x+b 为一个很大的正数，sigmoid 神经元的输出近似的为 1 ； 如果 z≡w⋅x+b 为极小的负数，那么 e−z→∞, 即 σ(z)≈0 。

sigmoid function:

smoothed step function:

2.2、Sigmoid function

假如 σ 的表现形式为 阶跃函数（ step function ） ，那么 sigmoid 就是个普通的感知器 ，根据 w⋅x+b 为正还是负，决定输出为 0 or 1 。但实际上， sigmoid 神经元工作方式为：平滑的 σ 函数表明，权重 Δwj 和 偏置 Δb 细微的改变，输出 Δoutput 也只产生细微的变化。因而， Δoutput 可以近似的表示为：

(5)

这里 Δoutput 是一个有关于权重（ weights ）变化量 Δwj 和偏置（ bias ）变化量 Δb 的线性函数。这种线性函数更有利于网络对 weights 与 bias 进行微调，以至于感知器可以尽可能地学习到“想要”的规则。/font>

3 总结

我们该如何去阐述 sigmoid 神经元的输出，很明显，与感知器所不同的是， sigmoid 神经元的输出不只局限在 0 or 1 。它的输出可以是 0 到 1 之间的任意数值，如 0.124…，0.864…。这样的改变，将对整个神经网络产生质的变化。

代码实现：

class Network(object):

    def __init__(self, sizes):
        self.num_layers = len(sizes)
        self.sizes = sizes
        self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
        self.weights = [np.random.randn(y, x) 
                        for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]
    def sigmoid(z):
        """
        sigmoid 函数实现
        """
        return 1.0/(1.0+np.exp(-z))