递归树： 如何借助树来求解递归算法的时间复杂度
------ 本文是学习算法的笔记，《数据结构与算法之美》，极客时间的课程 ------
今天，来讲树这种数据结构的一种特殊的应用，递归树。
我们都知道，递归代码的时间复杂度分析起来很麻烦，我们在排序（下）那里讲过，如何利用递推公式，求解归并排序的时间复杂度，但是，有此情况，比如快排的平均时间复杂度的分析，用递推公式的话，会涉及非常复杂的数学推导。
除了用递推公式这种复杂的分析方法，有没有更简单的方法呢？今天，我们就来学习另外一种方法，借助递归树分析递归算法的时间复杂度。
递归树与时间复杂度分析
递归的思想就是，将大问题分解为小问题来求解，然后再将小问题分解为更小的问题。这样一层一层地分解，直到问题规模被分解得足够小，不用继续递归分解为止。
如果我们把这个一层一层的分解过程画成图，它其实就是一棵树。我们给这棵树起一个名字，叫作递归树。我这里画了一棵斐波那契数列的递归树，你可以看看。节点的数字表示数据的规模，一个节点的求解可以分解为左右子节点两个问题的求解。
通过这个例子，你对递归的样子应该有个研发的认识了，看起来并不复杂。现在，我们就来看，如何用递归树来求解时间复杂度。
归并算法，它的递归代码非常简洁。现在我们就借助归并排序来看看，如何用递归树，来分析递归代码的时间复杂度。
归并排序的原理我就不详细介绍了，它每次会将数据规则一分为二。我们把归并排序画成递归树，就是下面的样子：
因为每次分解都是一分为二，所有代价很低，我们把时间上消耗记叙常量1。归并算法中比较四季风的是归并操作，也就是把两个子数组合并为大数组。从图中我们可以看出，每一层归并操作消耗时间总和是一样的，跟要排序的数据的数据规模无关。我们把每一层归并操作消耗的时间记作 n 。
现在，我们只需要知道这棵树的高度h，用高度h 乘以每一层的时间消耗n，就可以得到总的时间复杂度O(n*h)。
可以看出来，归并排序是一棵满二叉树，那h = log2n ,所以归并排序的时间复杂度就是O(nlogn)。我这里的时间复杂度都是估算的，对树的高度的计算也没有那么精确，但是这并不影响复杂度的计算结果。
实战一：分析快速排序的时间复杂度
在用递归树推导之前，我们先来加快一下用递推公式的分析方法，你可以回想一直，当时，我们为什么说用递推公式来求解平均时间复杂度非常复杂？
快速排序在最好情况下，每次分区都能一分为二，这个时候用递推公式 T(n) = 2T(n/2) + n，很容易就能推导出时间复杂度是O(nlogn)。但是，我们并不可能每次分区都这么幸运，正好一分为二。
我们假设平均情况下，每次分区之后，两个分区的大小比例为 1：k。当 k =9 时，如果用递推公式的方法来求解时间复杂度的话，递推公式就写成 T(n) = T(n/10) + T(9n/10) + n。
这个公式可以推导出时间复杂度，但是推导过程非常复杂。那我们来看看，用递归树来快速排序的平均情况时间复杂度，是不是比较简单呢？
我们还是取 k 等于9，也就是说，每次分区很不平均，一个分区是另一个分区的9 倍。如果我们把递归分解的过程画成递归树，就是下面这个样子：
快速排序的过程上，每次分区都要遍历待分区区间的所有数据，所以，每一层分区操作所遍历的数据的个数之和就是n。我们现在只要求出递归的高度h，这个快排过程遍历的个数就是 hn ,也就是说，时间复杂度就是O(hn)。
因为每次分区不是均匀地一分为二，所以递归树不是满二叉树。这样一个递归树的高度是多少呢？
我们知道，快速排序结束的条件就是待排序的小区间，大小为1，也就是说叶子节点的数据规模是1。从根节点n 到叶子节点1，递归树中最短的一个路径是每次都乘以 1/10，最长的路径是每次都乘以9/10。
所以，根据复杂度大O表示法，对数复杂度的底数不管是多少，我们统一写成logn，所有当大小比例是1：9时，快速排序的时间复杂度仍然是O(nlogn)。当 k = 99时，算出的时间复杂度也一样。
分析斐波那契数列的时间复杂度
// 斐波那契数列
int f(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
if(n == 2){
return 2;
}
return f(n-1) + f(n-2)
}
我们把斐波那契数列画成递归树，就是下面的样子：
这棵递归树的高度是多少呢？
f(n) 分解为f(n - 1) 和 f(n-2)，每次数据规模都是-1或者-2，叶子节点的数据规模是1或者2。所以，从根节点到叶子节点，每条路径长度是不一样的。如果每次都是-1，那最长的路径大约是n；如果每次都是 -2，那最短路径大约就是 n/2。
每次分解之后的合并操作只需要一次加法运算，我们把这次加法运算的时间消耗记作1 。所以，从上往下，第一层总时间消耗是 1，第二层总时间消耗是 2，第三层的总时间消耗就是4，依次类推，第k+1 层的时间消耗就是2^k。
如果路径长度为n，那这个总全就是 2^n -1。
如果路径长度都是 n/2，那整个算法的总时间消耗就是2^(n/2) -1。
所以，这个算法的时间复杂度就介于O(2n)和O(2n)/4之间。虽然这样得到结果还不够精确，只是现代战争范围，但是我们也基于上知道了上面的算法的时间复杂度是指数级的，非常高。
实战三：分析全排列的时间复杂度
我们高中时，学过排列组合。“如何把n 个数据的所有排列都找出来”。这就是全排列的问题。
举个例子，比如1、2、3这三个数，是有六种排列方式的：
- 1，2，3
- 1，3，2
- 2，1，3
- 2，3，1
- 3，2，1
- 3，1，2
如果我们确定了最后一位数据，那就变成了求解剩下 n-1个数据的排列问题。而最后一位数据可以是 n个数据中的任意一个。所以“n 个数据的排列”问题。就可以分解成n 个“n-1个数据的排列问题。
如果我们把它写成递推公式，就是下面这个样子：
假设数组中存储的是 1，2，3...n。
f(1,2,3...n) = {最后一位是1，f(n - 1)} + {最后一位是2，f(n - 1)} + ...+ {最后一位是n，f(n - 1)}
递推公式用代码实现，就是下面的样子
public void pringPermutations(int[] data, int n, int k) {
// n 表示数组大小，k表示要处理的子数组的数据个数
if (k == 1) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.print(data[i] + " ");
}
System.out.println();
}
for(int i = 0; i < k; ++i) {
int tem = data[i];
data[i] = data[k-1];
data[k-1] = tem;
pringPermutations(data, n, k-1);
tem = data[i];
data[i] = data[k-1];
data[k-1] = tem;
}
}
如果不用我前面讲的递归树的分析方法，这个递归代码的时间复杂度会比较难分析。现在，我们来看下，如何借助递归树，分析出这个代码的时间复杂度。
第一层分解有n次交换操作，第二层有n 个节点，每个节点分解需要 n-1 次交换，所以第二层的交换次数是n*(n-1)，同理，第三层交换次数就是n*(n-1)(n-2)。各层交换次数总合就是 n + n(n-1) + n*(n-1)(n-2) +… +n!
也就是说全排列的递归算法的时间复杂度大于O(n!)，小于O(nn!)。虽然我们没法知道非常精确的时间复杂度，但是这样一个范围已经让我们知道，全排列的时间复杂度是非常高的。
这里稍微说一下，掌握分析的方法很重要，思路是重点，不要你好幸福于精确的时间复杂度到底是多少。
内容小结
今天，我们用递归树分析了递归代码的时间复杂度。加上我们在排序那一节讲到的递推公式的时间复杂度分析方法，我们现在已经学习了两种递归代码的时间复杂度分析方法了。
有些代码比较适合递推公式来分析，比如归并排序的时间复杂度，快速排序的最好情况时间复杂度；有些比较适合采用递归树来分析，比如快速排序的平均时间复杂度，而有些可能两个都不怎么适用，比如二叉树的递归前中后序遍历。
时间复杂度分析的理念知识并不多，也不复杂，掌握起来也不难，但是，在我们平时工作中，面对的代码千差万别，能够灵活应用学到的复杂度分析方法，来分析现有的代码，并不是件简单的事情，这个需要多实践。