03算法复杂度(下)

1.最好情况时间复杂度(best case time complexity)

最好情况时间复杂度：在最理性的情况下，执行这段代码的时间复杂度，比如下面的代码中，最好的情况，x为arr的第一个元素，则时间复杂度为O(1):

/**
     * 最好：O(1)
     * 最坏：n -> O(n)
     * 平均: x的位置可能在 0,1,...n-1 以及 不在arr中, 共n+1种情况，每种情况的概率为 1/(n+1)

     *     因此，平均复杂度为: 1 * ( 1/(n+1) ) + 2 * ( 1/(n+1) ) + ... + n * ( 1/(n+1) ) + n *( 1/(n+1) ) = ( n(n+3) )/ ( 2* (n+1)
     *     -> O(n)
     * @param arr
     * @param n
     * @param x
     * @return
     */
    public static int cal2(int [] arr, int n, int x) {
        // 总 n -> O(n)?
        int i = 0; // 1
        int pos = -1; // 1
        for(; i < n; ++i) { // n?
            if(arr[i] == x) { // n?
                pos = i; // n?
                break;
            }
        }

        return pos;
    }

2.最坏情况时间复杂度(worst case time complexity)

最坏情况复杂度，就是在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度,如下的代码中，如果arr中无x, 则需要把整个arr都遍历一遍，复杂度为O(n):

/**
     * 最好：O(1)
     * 最坏：n -> O(n)
     * 平均: x的位置可能在 0,1,...n-1 以及 不在arr中, 共n+1种情况，每种情况的概率为 1/(n+1)

     *     因此，平均复杂度为: 1 * ( 1/(n+1) ) + 2 * ( 1/(n+1) ) + ... + n * ( 1/(n+1) ) + n *( 1/(n+1) ) = ( n(n+3) )/ ( 2* (n+1)
     *     -> O(n)
     * @param arr
     * @param n
     * @param x
     * @return
     */
    public static int cal2(int [] arr, int n, int x) {
        // 总 n -> O(n)?
        int i = 0; // 1
        int pos = -1; // 1
        for(; i < n; ++i) { // n?
            if(arr[i] == x) { // n?
                pos = i; // n?
                break;
            }
        }

        return pos;
    }

3.平均情况时间复杂度(average case time complexity)

最好、最坏时间复杂度其实都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率并不大，具有普适性的还是平均时间负责度，

• 粗略平均：

  x的位置可能在 0,1,...n-1 以及 不在arr中, 共n+1种情况，累加再除以n+1得平均时间：
  (1+2+3+...+n+n)/ (n+1) = ( n(n+3) )/ ( 2* (n+1)  -> O(n)
  

• 精准平均：运用概率统计，

  精准平均: x的位置可能在 0,1,...n-1 以及 不在arr中, 共n+1种情况，每种情况的概率为 1/2，而数组中每个元素的概率为1/n:
       因此，平均复杂度为: 1*(1/2)*(1/n) + 2*(1/2)*(1/n) + 3*(1/2)*(1/n) + ... + n*(1/2)(1/n) + n*(1/2) = (3n+1)/4 -> O(n)
  

  这个值就是概率论中的加权平均值，也叫做期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫做加权平均时间复杂度 或者 期望时间复杂度

  /**
       * 最好：O(1)
       * 最坏：n -> O(n)
       * 粗略平均: x的位置可能在 0,1,...n-1 以及 不在arr中, 共n+1种情况，累加再除以n+1得平均时间：
  
       *    ( 1+2+3+...+n+n)/ (n+1) = ( n(n+3) )/ ( 2* (n+1)
       *     -> O(n)
       * 精准平均: x的位置可能在 0,1,...n-1 以及 不在arr中, 共n+1种情况，每种情况的概率为 1/2，而数组中每个元素的概率为1/n
  
       *     因此，平均复杂度为: 1*(1/2)*(1/n) + 2*(1/2)*(1/n) + 3*(1/2)*(1/n) + ... + n*(1/2)*(1/n) + n*(1/2) = (3n+1)/4
       *     -> O(n)
       * @param arr
       * @param n
       * @param x
       * @return
       */
      public static int cal2(int [] arr, int n, int x) {
          // 总 n -> O(n)?
          int i = 0; // 1
          int pos = -1; // 1
          for(; i < n; ++i) { // n?
              if(arr[i] == x) { // n?
                  pos = i; // n?
                  break;
              }
          }
  
          return pos;
      }
  

4.均摊时间复杂度(amortized time complexity)

/**
     * 最好：只一次 O(1)
     * 最差: n+n -> 2n -> O(n)
     * 平均： 1*( 1/(n+1) ) + 1*( 1/(n+1) ) + ...+ n * ( 1/(n+1) ) = n/2n+2 -> O(1)
     * 均摊： O(1): 前n次 都为O(1), 每隔n+1次，复杂度为O(n), 把这n次操作均摊到

     *     前面的n次，总的复杂度为 O(1).
     * @param val
     * @param n
     */
    public static void insert(int val, int n) {
        int[] arr = new int[n];
        int count = 0;

        if(count == arr.length) { // 1
            int sum = 0; // 1
            for(int i=0; i < arr.length; i++) { // count == arr.length ? n : 0
                sum = sum + arr[i]; // count == arr.length ? n : 0
            }

            arr[0] = sum; // count == arr.length ? 1 : 0
            count = 1; // count == arr.length ? 1 : 0
        }

        arr[count] = val;  // 1

        ++count; // 1
    }

均摊其实是平均的一种特殊情况，特点：

对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。

每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)