小技巧1——长整型：64位整数的乘法模运算

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以下讨论均基于C/C++。

1. 问题引入

最近做了几道有关数学的题目，然后要用到这些较大整数的乘法（比如说NOI 2018 屠龙勇士中$10^{12}$级别的$p_i$相乘，还有直接上到$10^{18}$级别的快速幂），这些在刚写代码的时候不容易想到问题，发现溢出了之后才想起这些数太大了。

这类问题虽然最终答案需要取模，但是当$a,b,p\le 10^{18}$时，我们没有办法直接计算$a\times b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$的值——$a\times b$会溢出。所以我们必须想些办法，不可能为了这只大一点点的东西写一个高精度。

对于这些大数的乘法，我先讲一下网络上的普遍做法。

2. 解决方法

2.0 暴力相加法

应该大家都知道我喜欢从$1$开始编号，所以你看到这个方法的序号是$2.0$你就知道这个算法没有什么实际意义。

（算了我还是讲一下吧，就是对于$a\times b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$重复$b$次，每次$+a$，然后取模，由于一般$a$是给到$10^{18}$以内，所以相加不会溢出，复杂度是$O(b)$的，其中$b$是$10^{18}$级别的）

2.1 反复翻倍法

（正经讨论开始）

这个东西其实就是类似于快速幂（快速幂的一般写法通常称为反复平方法），这里只是将平方变为$\times 2$。相信理解快速幂的同学一定会明白这是什么意思吧！我直接贴个代码：

inline long long qmul(long long a,long long b,long long p){
	long long res=0;
	while(b){
		if(b&1)
			res=(res+a)%p;
		a=(a<<1)%p;b>>=1;
	}
	return res;
}
//备注：这个代码是写博客时直接手打，如有错误希望在评论区帮我指出。

当然这个复杂度和快速幂的复杂度一样，是$O({\log }_{2}b)$的（较暴力相加法快了非常多是不是啊）。但是对于通常认为是$O(1)$的直接相乘（即C/C++的*号）还是差了不少，因此人称龟速乘，和它的祖先快速幂形成了鲜明的对比。

2.2 位运算技巧法

所以为了避免出现$n=10^6$的大数据而导致的$O(n{\log }_2{a}_i)$的复杂度被卡，
我们还是希望找到一种理论复杂度$O(1)$的方法。这是存在的。

Notes：以下讨论均默认$0\le a,b<p$。如果出现负数或是超过模数的情况，请自行预先处理。

首先，我们先明确模运算的定义：

$a\times b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=a\times b-\lfloor \frac{a\times b}{p}\rfloor \times p$

所以，当$a,b<p$时，一定满足$\lfloor \frac{a\times b}{p}\rfloor <p$。

然后我们可以用long double来存储$\frac{a\times b}{p}$的值（浮点数形式），根据浮点数的运算规则，当精度不够用的时候，舍弃末尾也就是小数点后的几位，因此使用long double即可满足要求（现在绝大多数平台上long double给了$12$或$16$个字节，因此有效位数是$18-19$位，可以使用这种方法。

接下来我们的得到的是一个拖着好几位小数的浮点数，然后我们把它扔进一个long long里（不妨记为$c$，那么$c=\lfloor \frac{a\times b}{p}\rfloor$），以达到下取整的目的。（严重警告：请不要直接使用long double将原式算出来，否则可能产生严重误差或发生溢出。请只在这一步使用）。然后我们就可以把答案看成$a\times b-c\times p$了。

慢着，这里long long类型的$a$和$b$相乘不会溢出吗？

是的，$a\times b$会溢出，$c\times p$也会溢出，但是无论如何，他们之间的差值总是在$[0,p)$内，所以我们只需要关心最后的十几位即可，那些溢出的只是舍去了高位，对低位没有影响，因此答案是正确的。

综上，我们只是根据模运算的定义，然后结合了long double字节长但是不精确的特点，避开了$64$位的限制算出答案。技巧性非常强，但值得一学。

下面给出代码：

inline long long qmul(long long a,long long b,long long p){
	a=(a%p+p)%p;b=(b%p+p)%p;//顺带处理了负数和过大的情况
	long long c=a*(long double)b/p;//这里的c是准确的下取整结果
	long long ans=a*b-c*p;
	if(ans<0)//如果不在[0,p)之间则调整一下
		ans+=p;
	else if(ans>=p)
		ans-=p;
	return ans;
}

时间复杂度$O(1)$。

3. 总结

技巧性很强，但要注意细节（而且小数据难以查错）。