和式的计算——一般性的方法
看一个例子： ∑ i = 0 a i 2 \sum_{i=0}a_i^2 ∑i=0ai2
现在我们尝试使用多种方法来求这个式子的封闭形式——即通项公式。
方法0：可以查找公式。最好的资料来源是Sloane所著的《Handbook of Integer Sequences》，里面列出了数以千计的序列的封闭形式。可以去参考。还有些软件如：Axiom、MACSYMA、Maple或者Mathematica可以处理一些庞大的公式。其中，Mathematica很有名，大家可以去试用一下。
方法1：打表，猜测答案，然后用归纳法法证明。
方法2：对和式用扰动法
按照一般的做法，我们在其后加上一项：
S n + 1 = S n + ( n + 1 ) 2 = ∑ 0 ≤ k ≤ n ( k + 1 ) 2 = ∑ 0 ≤ k ≤ n ( k 2 + 2 k + 1 ) = ∑ 0 ≤ k ≤ n k 2 + 2 ∑ 0 ≤ k ≤ n k + n + 1 = S n + 2 ∑ 0 ≤ k ≤ n + ( n + 1 ) \begin{aligned} S_{n+1}=S_n+(n+1)^2 &=\sum_{0\leq k \leq n}(k+1)^2 \\ &=\sum_{0\leq k\leq n}(k^2+2k+1) \\ &=\sum_{0\leq k \leq n}k^2+2 \sum_{0\leq k \leq n} k+n+1 \\ &=Sn+2\sum{0\leq k \leq n}+(n+1) \end{aligned} Sn+1=Sn+(n+1)2=0≤k≤n∑(k+1)2=0≤k≤n∑(k2+2k+1)=0≤k≤n∑k2+20≤k≤n∑k+n+1=Sn+2∑0≤k≤n+(n+1)
发现Sn消掉了，扰动法失效。
那我们尝试从整数的立方和出发，来用一下扰动法。
设G(n)表示整数的立方和。
G ( n ) + ( n + 1 ) 3 = ∑ 0 ≤ k ≤ n ( k + 1 ) 3 = ∑ 0 ≤ k ≤ n ( k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 ) = ∑ 0 ≤ k ≤ n k 3 + 3 ∑ 0 ≤ k ≤ n k 2 + 3 n ( n + 1 ) 2 + n + 1 \begin{aligned}G(n)+(n+1)^3&=\sum_{0\leq k \leq n}(k+1)^3=\sum_{0 \leq k \leq n}(k^3+3k^2+3k+1)\\ &=\sum_{0 \leq k \leq n}k^3+3\sum_{0\leq k\leq n}k^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n+1 \end{aligned} G(n)+(n+1)3=0≤k≤n∑(k+1)3=0≤k≤n∑(k3+3k2+3k+1)=0≤k≤n∑k3+30≤k≤n∑k2+23n(n+1)+n+1
发现G(n)消掉了，里面刚好有S(n).
3 S ( n ) = ( n + 1 ) 3 − 3 n ( n + 1 ) 2 + n + 1 3S(n)=(n+1)^3-\frac{3n(n+1)}{2}+n+1 3S(n)=(n+1)3−23n(n+1)+n+1
化简可得：
3 S ( n ) = ( n + 1 ) ( n + 1 2 ) n 3S(n)=(n+1)(n+\frac{1}{2})n 3S(n)=(n+1)(n+21)n
方法三：建立成套方法
设递归式
(1) R 0 = α ; R n = R n − 1 + β + γ n + δ n 2 , n > 0 \begin{aligned} R_0&=\alpha ;\\ R_n &=R_{n-1}+\beta+\gamma n+\delta n^2, n>0 \end{aligned}\tag{1} R0Rn=α;=Rn−1+β+γn+δn2,n>0(1)
的解的一般形式是
(2) R n = A ( n ) α + B ( n ) β + C ( n ) γ + D ( n ) δ R_n=A(n)\alpha+B(n)\beta+C(n)\gamma+D(n)\delta \tag{2} Rn=A(n)α+B(n)β+C(n)γ+D(n)δ(2)
则 S n Sn Sn对应于递归式取 α = 0 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1 \alpha=0,\beta=0,\gamma=0,\delta=1 α=0,β=0,γ=0,δ=1时 R n Rn Rn的值。.
设 R n = 1 Rn=1 Rn=1,则可得 α = 1 , β = 0 , γ = 0 , δ = 0 \alpha=1,\beta=0,\gamma=0,\delta=0 α=1,β=0,γ=0,δ=0,于是 A ( n ) = 1 A(n)=1 A(n)=1
设 R n = n Rn=n Rn=n,则可得 α = 0 , β = 1 , γ = 0 , δ = 0 \alpha=0,\beta=1,\gamma=0,\delta=0 α=0,β=1,γ=0,δ=0,于是 B ( n ) = n B(n)=n B(n)=n
设 R n = n 2 Rn=n^2 Rn=n2,则可得 α = 0 , β = − 1 , γ = 2 , δ = 0 \alpha=0,\beta=-1,\gamma=2,\delta=0 α=0,β=−1,γ=2,δ=0,于是 C ( n ) = n 2 + n 2 C(n)=\frac{n^2+n}{2} C(n)=2n2+n
设 R n = n 3 Rn=n^3 Rn=n3,则可得 α = 0 , β = 1 , γ = − 3 , δ = 3 \alpha=0,\beta=1,\gamma=-3,\delta=3 α=0,β=1,γ=−3,δ=3,于是 n 3 = B ( n ) − 3 C ( n ) + 3 D ( n ) n^3=B(n)-3C(n)+3D(n) n3=B(n)−3C(n)+3D(n),有 D ( n ) = 2 n 3 − 2 n + 3 n ( n + 1 ) 6 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 D(n)=\frac{2n^3-2n+3n(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} D(n)=62n3−2n+3n(n+1)=6n(n+1)(2n+1)
现在 A ( n ) , B ( n ) , C ( n ) , D ( n ) A(n),B(n),C(n),D(n) A(n),B(n),C(n),D(n)都已经求出来了。将 α = 0 , β = 0 , γ = 0 , δ = 1 \alpha=0,\beta=0,\gamma=0,\delta=1 α=0,β=0,γ=0,δ=1代入式子 ( 2 ) (2) (2)中，则可求得 S n = D ( n ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 Sn=D(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} Sn=D(n)=6n(n+1)(2n+1)
成套方法是先从特殊到一般，再从一般到特殊的一个经典应用。
首先对一个具体的递归式，将其表示为一个系数待确定的方程，递归式变量为 α , β , γ , δ \alpha,\beta,\gamma,\delta α,β,γ,δ，各变量的系数分别为 A ( n ) , B ( n ) , C ( n ) , D ( n ) A(n),B(n),C(n),D(n) A(n),B(n),C(n),D(n)，该方程是一个通用的方程，可以表示符合这种形式的任意递归式（f(n)与f(n-1)的倍数关系不能变）。然后再从一般到特殊，通过一些特殊的数列，求出系数的值。于是该方程的编程了一个系数确定的方程。只要代入 α , β , γ , δ \alpha,\beta,\gamma,\delta α,β,γ,δ的值，就可以确定方程在那一组变量下的值，即为原递归式的封闭形式。
方法四：用积分替换和式。
∑ 0 ≤ k ≤ n k 2 \sum_{0\leq k \leq n}k^2 ∑0≤k≤nk2可以看做宽度为1，高度为 k 2 k^2 k2的小矩形的面积之和，它可以近似的表示为： ∫ 0 n x 2 d x = n 3 / 3 \int_{0}^{n}x^2dx=n^3/3 ∫0nx2dx=n3/3
我们检查这个误差，设误差 E n = S n − n 3 / 3 E_n=S_n-n^3/3 En=Sn−n3/3.
因为Sn满足递归式，所以有： E n = S n − n 3 / 3 = S n − 1 + n 2 − n 3 / 3 = E n − 1 + ( n − 1 ) 3 / 3 + n 2 − n 3 / 3 = E n − 1 + n − 1 / 3 \begin{aligned}E_n=Sn-n^3/3&=S_{n-1}+n^2-n^3/3\\&=E_{n-1}+(n-1)^3/3+n^2-n^3/3 \\ &=E_{n-1}+n-1/3 \end{aligned} En=Sn−n3/3=Sn−1+n2−n3/3=En−1+(n−1)3/3+n2−n3/3=En−1+n−1/3
可以很容易计算出 E n = ( n + 1 ) n / 2 − n / 3 E_n=(n+1)n/2-n/3 En=(n+1)n/2−n/3
则 S n = E n + n 3 / 3 = ( n + 1 ) n / 2 − n / 3 + n 3 / 3 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 S_n=E_n+n^3/3=(n+1)n/2-n/3+n^3/3=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} Sn=En+n3/3=(n+1)n/2−n/3+n3/3=6n(n+1)(2n+1)
方法五：展开和收缩
S n = ∑ 1 ≤ k ≤ n k 2 = ∑ 1 ≤ j ≤ k ≤ n k = ∑ 1 ≤ j ≤ n ∑ j ≤ k ≤ n k = ∑ 1 ≤ j ≤ n ( j + n 2 ) ( n − j + 1 ) = 1 2 ∑ 1 ≤ j ≤ n ( n ( n + 1 ) + j − j 2 ) = 1 2 n 2 ( n + 1 ) + 1 4 n ( n + 1 ) − 1 2 S n = 1 2 n ( n + 1 2 ) ( n + 1 ) − 1 2 S n \begin{aligned}S_n=\sum_{1\leq k\leq n}k^2&=\sum_{1\leq j \leq k\leq n}k\\ & =\sum_{1\leq j\leq n}\sum_{j\leq k\leq n} k\\ &=\sum_{1\leq j\leq n}\left(\frac{j+n}{2}\right)(n-j+1)\\ & =\frac{1}{2}\sum_{1\leq j\leq n }(n(n+1)+j-j^2)\\&=\frac{1}{2}n^2(n+1)+\frac{1}{4}n(n+1)-\frac{1}{2}S_n\\&=\frac{1}{2}n(n+\frac12)(n+1)-\frac12S_n\end{aligned} Sn=1≤k≤n∑k2=1≤j≤k≤n∑k=1≤j≤n∑j≤k≤n∑k=1≤j≤n∑(2j+n)(n−j+1)=211≤j≤n∑(n(n+1)+j−j2)=21n2(n+1)+41n(n+1)−21Sn=21n(n+21)(n+1)−21Sn
从单重和式变换到多重和式，初看是一种倒推，但实际上是进步。
我们不能指望不断的简化简化再简化，就像你不可能只向上爬坡而登上最高的山峰！
方法六：有限微积分
方法七：无限微积分