建堆与堆排序详细解析

1.堆的特性

堆有大根堆和小根堆，大根堆的子树，父结点比子结点都要大，小跟堆的子树，父节点都要比子结点小。

堆有这样的特性：

• n个元素的堆的高度是$logn$,因为堆是一棵完全二叉树或者近似一棵完全二叉树。
• 堆中，如果父节点的index是n，那么这个结点的左右子结点的index 分别是$2\ast index+1$和$2\ast index+2$,并且，如果堆总共有n个元素，并且根结点的index为0，堆中最后一个有子结点的父节点的index一定是$n//2-1$
• 最大堆，最大的元素在根节点，最小堆，最小的元素在根节点。

2.如何建堆

如何从一个无序的列表建起起一个大根堆或者小根堆呢？利用堆的特性，我们从最后一个有子节点的父节点开始进行调整，也就是索引值为$n//2-1$的结点。下面以建立小跟堆为例讲解。

• 首先我们拿到一个根节点root，检查结点root的两个子节点谁的值更小，注意需要保持两个子节点的索引值不超过堆的长度，超过了说明没有子节点。

• 比较较小的子节点和父节点谁的值小，如果子结点的值更小，则需要交换子结点和父节点。注意！！如果这里发生了交换，那么可能会影响原来较小子结点已经形成的堆，所以我们需要继续调整堆，所以这里我们可以用递归的写法。具体看代码中，如果用非递归的写法则是，我们要一直循环，向下找到这个父节点该插入的位置！！

这是递归写法

def sink(num_list, root):
    length = len(num_list)
    if 2 * root + 1 < length:
        child = 2 * root + 2 if 2 * root +2 < length and num_list[2 * root +2] < num_list[2 * root +1] else 2 * root +1  # find the small child node
        if num_list[root] > num_list[child]:  #exchange the parent node and the child if the parent node bigger than child node 
            num_list[root], num_list[child] = num_list[child], num_list[root]
            sink(num_list, child)  # continue to adjust the new heap

def main(num_list):
    for i in range(len(num_list) // 2 -1, -1, -1):  # 
        sink(num_list, i)
    print(num_list)

非递归写法：

def sink(num_list, root):
    length = len(num_list)
    while 1: 
        if 2 * root + 1 < length:
            child = 2 * root + 2 if 2 * root +2 < length and num_list[2 * root +2] < num_list[2 * root +1] else 2 * root +1  # find the small child node
            if num_list[root] > num_list[child]:  #exchange the parent node and the child if the parent node bigger than child node 
                num_list[root], num_list[child] = num_list[child], num_list[root]
                root = child
            else:
                break
        else:
            break

def main(num_list):
    for i in range(len(num_list) // 2 -1, -1, -1): # 由底向顶遍历
        sink(num_list, i)
    print(num_list)

3.堆排序

我们调整一次堆之后，最小的元素就在数组首位，将它出数组，然后再对剩余的数再用调整算法调整一次，继续出掉最小的数组。就是堆排序了。

while num_list:
    for i in range(len(num_list)):
        sink(num_list, i)
    list.pop(0)

4.建堆算法复杂度分析

假设堆的元素数目为$n$，则堆高为$h=logn$，最底下一层的父节点最多为$2^{h-2}$个，这一层的父节点最多向下调整1次，倒数第二层父节点最多为$2^{h-3}$个，最多向下调整2次，以此类推，最顶的根节点为1个，最多向下调整h-1次。

则复杂度$S=2^{h-2}\times 1+2^{h-3}\times 2+2^{h-4}\times 3+...+2^0\times (h-1)$ ,等式两边乘以2，得到$2S$, $2S$减去$S$,得$S=2^h-h-1$,把$h=logn$带入得$ S = n-logn-1$,所一次建堆的算法复杂度为$O(n)$。

5.堆排序算法复杂度

以下是我的直觉猜测，没有进行数学推导。

事实上建好堆以后，每次将元素出数组，然后再调整堆，只需要进行logn次操作就可以调整完毕。总共需要n次出数组，所以算法复杂度为O(nlogn)。