01背包、完全背包、多重背包问题分析
背包问题可以用递归方法和动态规划方法，递归代码简洁，方便理解，不过由于重复计算，效率较低，DP方法将前面的计算结果保存到二维数组中，效率较高，值得推荐。
1. 01背包（ZeroOnePack）: 有n件物品和一个容量为m的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是weight[i]，价值是value[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
解题思路：对于每个物品只考虑两种情况（放or不放），放的前提是当前物品的重量小于背包的容量，而且放该物品时收获的总价值大于不放该物品时的总价值，我们使用weight数组表示物品的重量，value数组表示物品的价值，m表示背包的容量，n表示第n可以放或者不放，表示为递归函数关系可以表示如下：
if(weight[n]>m)
return recursion(weight,value,m,n-1);
else
return max(recursion(weight,value,m,n-1),recursion(weight,value,m-weight[n],n-1)+value[n]);if(weight[j]<=i){
res[i][j]=max(res[i][j-1],res[i-weight[j]][j-1]+value[j]);}
else
res[i][j]=res[i][j-1];DP程序源码：
#include
#include
using namespace std;
int main(){
int m,n;
//cin>>m>>n;
m=10;
n=5;
vector weight(n+1,0);
vector value(n+1,0);
int array1[6]={0,2,2,6,5,4};
int array2[6]={0,6,3,5,4,6};
for(int i=1;i>weight[i];
weight[i]=array1[i];
}
for(int i=1;i>value[i];
value[i]=array2[i];
}
vector< vector > res(m+1);
for(int i=0;i #include
#include
using namespace std;
int recursion(vector& weight,vector& value,int m,int n){
if(m==0||n==0)
return 0;
if(weight[n]>m)
return recursion(weight,value,m,n-1);
else
return max(recursion(weight,value,m,n-1),recursion(weight,value,m-weight[n],n-1)+value[n]);
}
int main(){
int m,n;
//cin>>m>>n;
m=10;
n=5;
vector weight(n+1,0);
vector value(n+1,0);
int array1[6]={0,2,2,6,5,4};
int array2[6]={0,6,3,5,4,6};
for(int i=1;i>weight[i];
weight[i]=array1[i];
}
for(int i=1;i>value[i];
value[i]=array2[i];
}
cout< m=10;
n=5;
int array1[6]={0,2,2,6,5,4};
int array2[6]={0,6,3,5,4,6};
使用如上的一组测试数据，实验结果如下图所示：
2. 完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
解题思路：参考01背包思想，只有一点稍微的改动即可，当考虑将物品j放入容量为i的背包时，如果物品j的重量小于背包容量i，比较放入物品j时res[i-weight[j]][j]+value[j]和不放物品j时res[i][j-1]，只是第一种情况调整下基准位置的参考结果，物品可以放无数次。
DP方法程序源码：
#include
#include
using namespace std;
int main(){
int m,n;
//cin>>m>>n;
m=10;
n=5;
vector weight(n+1,0);
vector value(n+1,0);
int array1[6]={0,2,2,6,5,4};
int array2[6]={0,6,3,5,4,6};
for(int i=1;i>weight[i];
weight[i]=array1[i];
}
for(int i=1;i>value[i];
value[i]=array2[i];
}
vector< vector > res(m+1);
for(int i=0;i 递归方法源码：
#include
#include
using namespace std;
int recursion(vector& weight,vector& value,int m,int n){
if(m==0||n==0)
return 0;
if(weight[n]>m)
return recursion(weight,value,m,n-1);
else
return max(recursion(weight,value,m,n-1),recursion(weight,value,m-weight[n],n)+value[n]);
}
int main(){
int m,n;
//cin>>m>>n;
m=10;
n=5;
vector weight(n+1,0);
vector value(n+1,0);
int array1[6]={0,2,2,6,5,4};
int array2[6]={0,6,3,5,4,6};
for(int i=1;i>weight[i];
weight[i]=array1[i];
}
for(int i=1;i>value[i];
value[i]=array2[i];
}
cout< 
3. 多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
解题思路：相比于前面描述的01背包和完全背包，这里多重背包增加了物品数量限制，所以在每次判断装入物品j时，判断最多能放入多少个物品j，针对每一个物品j计算最大价值，然后取最大的一个即可。
DP方法程序源码：
#include
#include
using namespace std;
int main(){
int m,n;
//cin>>m>>n;
m=10;
n=5;
vector weight(n+1,0);
vector value(n+1,0);
vector size(n+1,0);
int array1[6]={0,2,2,6,5,4};
int array2[6]={0,6,3,5,4,6};
int array3[6]={0,1,1,4,5,1};
for(int i=1;i>weight[i];
weight[i]=array1[i];
}
for(int i=1;i>value[i];
value[i]=array2[i];
}
for(int i=1;i>size[i];
size[i]=array3[i];
}
vector< vector > res(m+1);
for(int i=0;i 递归方法程序源码：
#include
#include
using namespace std;
int recursion(vector& weight,vector& value,vector& size,int m,int n){
if(m==0||n==0)
return 0;
if(weight[n]>m)
return recursion(weight,value,size,m,n-1);
else
{
int numOfValue=min(m/weight[n],size[n]);
int maxValue=0;
for(int i=0;i<=numOfValue;++i){
int temp=recursion(weight,value,size,m-weight[n]*i,n-1)+value[n]*i;
maxValue=max(maxValue,temp);
}
return maxValue;
}
}
int main(){
int m,n;
//cin>>m>>n;
m=10;
n=5;
vector weight(n+1,0);
vector value(n+1,0);
vector size(n+1,0);
int array1[6]={0,2,2,6,5,4};
int array2[6]={0,6,3,5,4,6};
int array3[6]={0,1,1,4,5,1};
for(int i=1;i>weight[i];
weight[i]=array1[i];
}
for(int i=1;i>value[i];
value[i]=array2[i];
}
for(int i=1;i>value[i];
size[i]=array3[i];
}
cout< 