Codeforces 696C PLEASE(数论)

题意：

给你三个杯子，一开始中间的杯子里有钥匙，每一次把中间的杯子和左右两边中的一个杯子交换，每次选择是等概率的，问你n次操作之后，钥匙在中间杯子的概率是多少，并且用分数形式表示出来。

解法：

这题有两个需要处理的，一个就是因为n会很大，所以给的n的各个因子，不过这个没啥困难的，价格矩阵快速幂就能算，另外dp的方程很好推，就是dp[i] = (1 - dp[i - 1]) * 0.5。然后他又要用最简分数形式表示，这个就必须将这个dp方程来进行化简，我们运用高中的知识，配出通项公式就可以了，这个我就不去说了，不会的请去反高中数学书。最后得到的结果是dp[i] = (1 - (-1/2)^(n-1)) /(3 * 2^(n-1))，因为是要的分数形式，并且要mod1e9+7，所以我们必须把使上下两个互质，才能符合要求，说我们把这个分子变成(2^(n-1) + (-1)^n / 3，分母是1/2^(n-1)，这两个就是互质的，至于证明我还真不会，不过可以写几个找找规律。
直接上下分是不符合要求的，为什么直接分不行，可以简单说明一下，如果n-1为偶数，那么 2^(n-1)% 3 = 1，再减1就是0了，这样就不能互质了，n-1为奇数同理。

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#include 
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#define CLR(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define OFF(x) memset(x,-1,sizeof(x))
#define MEM(x,a) memset((x),(a),sizeof(x))
#define BUG cout << "I am here" << endl
#define lookln(x) cout << #x << "=" << x << endl
#define SI(a) scanf("%d", &a)
#define SII(a,b) scanf("%d%d", &a, &b)
#define SIII(a,b,c) scanf("%d%d%d", &a, &b, &c)
const int INF_INT=0x3f3f3f3f;
const long long INF_LL=0x7f7f7f7f;
const int MOD=1e9+7;
const double eps=1e-10;
const double pi=acos(-1);
typedef long long  ll;
using namespace std;

int n;
ll a[100010];

ll ksm(ll a, ll x) {
    if (x == 0LL) return 1LL % MOD;
    ll ret = ksm(a, x / 2);
    ret = ret * ret % MOD;
    if (x & 1) ret = ret * a % MOD;
    return ret;
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\john\\Desktop\\in.txt","r",stdin);
    // freopen("C:\\Users\\john\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
    while (SI(n) == 1) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%I64d", a + i);
        ll p, q = 2LL;
        int flag = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            q = ksm(q, a[i]);
            if (!(a[i] & 1)) flag = 1;
        }
        q = q * ksm(2, MOD - 2) % MOD;
        p = (q + MOD + (flag ? 1 : -1)) % MOD;
        p = p * ksm(3, MOD - 2) % MOD;
        cout << p << '/' << q << endl;
    }
    return 0;
}