【AGC002E】Candy Pile 博弈论找规律

原题走这里

又是一道十分巧妙的题

重点在于找规律以及将数组转化为图形

首先将各个糖果堆按降序排序

就变成了类似下面图1的情况

                                     图1：排序后的糖果堆

我们可以发现，操作1吃掉最大的一堆，相当于删去最左的一列，操作2从每一堆中吃掉一个，就相当于删去最下的一行

再继续转化模型，将图一变成网格图

则游戏就转化为了一开始全图左下角有一个棋子，操作1相当于将棋子右移一格，操作2相当于将棋子上移一格

两人交替执棋，到达边际线者输，如下图2

                                           图二：转化后的游戏

接着我们可以轻易标出所有的必胜状态和必败状态，如下图3

边际线上是必胜状态，上方和右方都是必胜状态的就是必败状态，反之为必胜状态

如果我们直接这样算出左下角是必胜/必败的话，复杂度就是O(sum{a[i]})，明显过大

这时候就要开始找规律了

                                     图三：必胜状态和必败状态

观察得知，除了边际线上以外，对角线上的状态都是一样的，证明如下：

如果（x+1,y+1）在边际线以内且是必败态，则（x,y+1）和（x+1,y）都是必胜态，（x,y）是必败态

如果（x+1,y+1）在边际线以内且是必胜态，则（x+1,y+2）和（x+2,y+1）中至少有一个是必败态

则（x,y+1）和（x+1,y）中至少有一个是必败态，故（x,y）是必胜态

有了这个结论之后，就可以加速我们的算法了，方法如下：

从左下角开始，不断向右上方走，一直到碰到边际线之前，如图4

接着计算该点向右和向上离边界线的距离

如果两者都是奇数，则为必败态，输出Second，反之为必胜态，输出First

                                图四：快速得出答案的方法

内心已崩溃……

代码如下：

#include 
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
int n,a[200010],t;
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();	
	}	
	sort(a+1,a+n+1,greater());
	for(;a[t]>=t;t++);
	t--;
	if((a[t]-t)%2==0)
	{
		int j=0;
		for(;a[t+j]>=t;j++);
		if(j%2)
		{
			cout<<"Second"<