数值分析 第七章 常微分方程的数值解法

1 数值解法相关公式

1.1 为什么要研究数值解法？

所谓数值解法,就是设法将常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值.

1.2 问题 7.1 一阶常微分方程初值问题的一般形式

{y′=f(x,y),a⩽x⩽by(a)=α

其中 f(x,y) 是已知函数, α 为给定的初值.
若函数 f(x,y) 在区域
{a⩽x⩽b,−∞<y<+∞} 上连续且关于 y 满足 Lipschitz 条件

|f(x,y)−f(x,y¯)|⩽L|y−y¯|,∀y,y¯

其中 L>0 为 Lipschitz 常数，则初值问题（7.1）有唯一解。

1.3 构造数值解法的基本思想

假设初值问题(7.1)的解 y=y(x) 唯一存在且足够光滑.对求解区域 [a,b] 做剖分

a=x0<x1<x2<...<xn<...<xN=b

其中剖分点 xn=a+nh,n=0,1,...,N , h 称为 剖分步长，数值解法就是求精确解 y(x) 在剖分节点 xn 上的近似值 yn≈y(xn),n=1,2,...,N .
我们采用数值积分方法来建立差分公式.
在区间 [xn,xn+1] 上对方程(7.1)做积分，则有

y(xn+1)−y(xn)=∫xn+1xnf(x,y(x))dx

对右侧分别应用左矩形公式、梯形公式和中矩形公式，可分别得到 Euler 公式、梯形差分公式和 Euler 中点公式。

1.4 Euler 公式

{yn+1=yn+hf(xn,yn)y0=α,n=0,1,2,...,N−1

1.5 梯形差分公式

⎧⎩⎨yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)]y0=α,n=0,1,2,...,N−1

1.6 Euler 中点公式(双步 Euler 公式)

{yn+1=yn−1+2hf(xn,yn)y0=α,n=0,1,2,...,N−1

在 Euler 公式和梯形公式中,为求得 yn+1 ,只需用到前一步的值 yn ,这种差分方法称为 单步法,这是一种自开始方法. Euler 中点公式则不然, 计算 yn+1 时需用到前两步的值 yn , yn−1 ,称其为 两步方法,两步以上的方法统称为 多步法.在 Euler 公式和 Euler 中点公式中,需要计算的 yn+1 已被显式表示出来,称这类差分公式为 显式公式,而梯形公式中,需要计算的 yn+1 隐含在等式两侧,称其为 隐式公式.隐式公式中,每次计算 yn+1 都需解方程,要比显式公式需要更多的计算量,但其计算稳定性较好.

1.7 改进的 Euler 方法

从数值积分的角度来看,梯形差分公式计算数值解的精度要比 Euler 公式好,但它属于隐式公式,不便于计算.实际上,常将 Euler 公式与梯形差分公式结合使用,通常采用只迭代一次的算法:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪yn+1=yn+h2(K1+K2)K1=f(xn,yn)K2=f(xn+h,yn+hK1)y0=α,n=0,1,2,...,N−1

2 差分公式的误差分析

在节点 xn+1 的误差 y(xn+1−yn+1) ，不仅与 yn+1 这一步计算有关，而且与前 n 步计算值 yn,yn−1,...,y1 都有关。
为了简化误差分析，着重研究进行一步计算时产生的误差，即假设 yn=y(xn) ，求误差 y(xn+1)−yn+1 ,这时的误差称为局部截断误差，它可以反映出差分公式的精度。
如果单步差分公式的局部截断误差为 O(hp+1) ,则称该公式为 p 阶方法.这里 p 为非负整数.显然,阶数越高,方法的精度越高.
研究差分公式阶的重要手段是 Taylor 展开式,一元函数和二元函数的 Taylor 展开式为:

2.1 Taylor 一元展开式

y(xn+1)=y(xn+h)=y(xn)+y′(xn)h+y′′(xn)2!h2+y′′′(xn)3!h3+O(h4)

其中，

y′(xn)=f(xn,y(xn))=f(xn,yn)=fny′′(xn)=f′(xn,y(xn))=∂fn∂x+∂fn∂yfny′′′(xn)=f′′(xn,y(xn))=∂2fn∂x2+2∂2fn∂x∂yfn+∂2fn∂y2f2n+∂fn∂x∂fn∂y+(∂fn∂y)2fn

2.2 Taylor 二元展开式

f(xn+h,yn+k)=f(xn+yn)+∂f(xn,yn)∂xh+∂f(xn,yn)∂yk+12![∂2f(xn,yn)∂x2h2+2∂2f(xn,yn)∂x∂yhk+∂2f(xn,yn)∂y2k2]+O(h3)

对 Euler 方法，有

yn+1y(xn+1)=yn+hf(xn+yn)=y(xn+h)=y(xn)+y′(xn)h+y′′(xn)2!h2+y′′′(xn)3!h3+O(h4)=yn+f(xn,yn)h+O(h2)

从而 y(xn+1)−yn+1=O(h2) ,所以 Euler 是一阶方法。

3 单步方法的收敛性与稳定性

3.1 单步方法的收敛性

对于给定的初值问题

{y′=f(x,y),a⩽x⩽by(a)=α

的单步显示方法可以统一写成如下形式：

yn+1=yn+hΦ(xn,yn,h)(7.1)

其中， Φ(x,y,h) 称为 增量函数，对于 Euler 方法，有 Φ(x,y,h)=f(x,y) ,对于改进 Euler 方法，有 Φ(x,y,h)=12[f(x,y)+f(x+h,y+hf(x,y))]

定义7.1 单步法的收敛性

设 y(x) 是初值问题(7.1)的解 , yn 是单步法 (7.1)产生的近似解.如果对任意固定的点 xn ,均有

limh→0yn=y(xn)

，则称 单步法(7.1)是收敛的。
可见,若方法(8.5)是收敛的,则当 h→0 时,整体截断误差 en=y(xn)−yn 将趋于零.

定理7.1

设单步方法(7.1)是 p⩾1 阶方法, 增量函数 Φ(x,y,h) 在区域 {a⩽x⩽b,−∞<y<+∞,0⩽h⩽h0} 上连续,且关于y满足 Lipschitz 条件,初始近似 y0=y(a)=α ,则方法(7.1)是收敛的,且存在与h无关的常数 C ,使 |y(xn)−yn|⩽Chp

3.2 单步方法的稳定性

定义7.2 单步方法的稳定性

对于初值问题(7.1),取定步长 h ,用某个差分方法进行计算时,假设只在一个节点值 yn 上产生计算误差 δ ,即计算值 yn¯=yn+δ ,如果这个误差引起以后各节点值 ym(m>n) 的变化均不超过 δ ,则称此差分方法是绝对稳定的.讨论数值方法的稳定性,通常仅限于典型的试验方程 y′=λy ,其中 λ 是复数且 Re(λ)<0 .在复平面上，当方法稳定时要求变量 λh 的取值范围称为方法的绝对稳定域，它与实轴的交集称为绝对稳定区间。

说明：单步显式方法的稳定性与步长密切相关, 在一种步长下是稳定的差分公式,取大一点步长就可能是不稳定的.收敛性是反映差分公式本身的截断误差对数值解的影响;稳定性是反映计算过程中舍入误差对数值解的影响.只有即收敛又稳定的差分公式才有实用价值.