拓展欧几里得/乘法逆元

d=gcd(a,b)=ax+by
先看代码

void extend_gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y)
{
    if(!b)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
       extend_gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}

代码中 d即为 a,b最大公约数.
跟欧几里得算法求最大公约数有点像，这里b=0时，返回a,b最大公约数d以及系数x=1和y=0，使得a=ax+by。b≠0时，算法先计算出d’=gcd(b,a%b)和满足d’=bx’+(a%b)y’的 (d’,x’,y’)，在欧几里得算法中 d=gcd(a,b)=d’=gcd(b,a%b).
为得到满足d=ax+by的x和y,利用等式d=d’和a%n=a-n*(a/n)
注意这里是整数除法
d=bx’+(a-b(a/b))y’=ay’+b(x’-(a/b)y’)
因此 当x=y’,y=x’-(a/b)y’时就可以满足d=ax+by。
再看乘法逆元

void multiplicative_inverse(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        multiplicative_inverse(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d %d",&a,&b);
    multiplicative_inverse(a,b,x,y);
    if(x<0)
        x+=b;
    cout<<x<return 0;
}

所谓乘法逆元 即：
ax≡1(%b)
即
ax+by=1
则x是a对模b的乘法逆元。
注意此处a，b互质。
与 拓展欧几里得算法相同，只不过省去了最大公约数d。
http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1256