【NOI2019模拟2019.6.17】互膜

https://jzoj.net/senior/#contest/show/2775/2

题目大意：

给你$n(偶数)$张卡片，第$i$张价值为$s[i]$

一开始编号奇数的卡片属于A，偶数的属于B。

一共有$n-1$轮操作，第$i$轮，$i$是奇数A操作，$i$是偶数B操作。

操作可以将第$i$或$i+1$卡的所属权反转，或者不操作。

两人绝顶聪明，希望自己的卡片和最大，求A最大的卡片和。

有m次修改，每次减小一张卡片的价值，再问A最大的卡片和。

任意时刻满足$s[i]>=0，1<=n,m<=200000$

题解：

不难想到一个暴力的dp：

$f[i][0/1]$表示，倒着考虑$i$轮以后的操作，第$i$张卡在开始时有没有被反转，先手-后手的最大值。

显然可以得到$f[i][0]>=f[i][1]$的结论，转移如下。

$Ans=(f[1][0]+\sum s[i])/2$

感觉有很多相同的项，不妨差分试试，设$delta[i]=f[i][0]-f[i][1]$

那么发现$delta[i]$就是一个后缀$min$，那么正着做一个递增的单调栈，即可得到每一段的$delta[i]$

再观察$f[i][0]$的转移：

$f[i][0]=s[i]-f[i+1][0]+delta[i+1]$

不难得到：$f[1][0]={\sum }_{i=1}^{n}s[i]\ast (-1{)}^{i+1}+{\sum }_{i=2}^{n}delta[i]\ast (-1{)}^i$

现在的问题在于维护$delta$，也就是动态维护单调栈，参见【WinterCamp 2013】楼房重建。

线段树维护单调栈，时间复杂度$O(nlo{g}^{2}n)$。

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注意到这题的$s[i]$只会变小，但是上面的做法可以做变大的，只会变小的话，单调栈每次要不弹掉一段连续的元素，要不就加入一个元素，所以可以直接用平衡树维护这个东西，时间复杂度$O(nlogn)$。

但是这个做法会比上面的难写一点。

Code：

#include
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

int n, Q, x, y, s[N];
ll sum, t[N * 4], fx[N * 4];
int pl, pr;

#define fu(x) (((x) & 1) ? -1 : 1)
#define i0 i + i
#define i1 i + i + 1
ll query(int i, int x, int y, int z) {
	if(x == y) return 2 * min(s[x], z);
	int m = x + y >> 1;
	if(z < t[i1]) return query(i0, x, m, z) + 2 * z * fu(m - x + 1) * ((y - m) & 1);
	return fx[i] + query(i1, m + 1, y, z) * fu(m - x + 1);
}
void ch(int i, int x, int y) {
	if(x == y) { t[i] = s[x]; return;}
	int m = x + y >> 1;
	if(pl <= m) ch(i0, x, m); else ch(i1, m + 1, y);
	t[i] = min(t[i0], t[i1]);
	fx[i] = query(i0, x, m, t[i1]);
}

int main() {
	freopen("flip.in", "r", stdin);
	freopen("flip.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &n);
	fo(i, 1, n) scanf("%d", &s[i]), sum += s[i] * -fu(i) + s[i];
	fo(i, 1, n) pl = pr = i, ch(1, 2, n);
	scanf("%d", &Q);
	pp("%lld\n", (query(1, 2, n, 1e9) + sum) / 2);
	fo(ii, 1, Q) {	
		scanf("%d %d", &x, &y);
		sum -= y * -fu(x) + y;
		s[x] -= y;
		pl = pr = x;
		ch(1, 2, n);
		pp("%lld\n", (query(1, 2, n, 1e9) + sum) / 2);
	}
}