NP问题的证明

8.3证明NP完全问题
（1) Problem：
STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.
（2) Solution：
类似于SAT问题，显然对于给定的一组变量赋值，我们可以在多项式时间内证明是否为STINGY SAT问题的解，所以STINGY SAT问题是NP问题；
SAT问题是给定一个CNF，给出一组变量值使得所有字句为真，或者证明不存在满足的解。令k = n时，可以将SAT问题归约成STINGY SAT问题，由于SAT问题是NP完全问题，所以STINGY SAT问题也是NP完全问题。

8.10证明NP完全问题
（a）子图同构：令G是一个环，且环上的顶点数等于H上的顶点数。如果G是H的同构子图，则H中存在Rudrata回路，Rudrata回路问题是子图同构问题的一个特例，所以子图同构问题也是一个NP完全问题；
（b）最长路径：假设G=(V, E)，g=|V|-1，则G中存在Rudrata路径，Rudrata路径问题是最长路径问题的一个特例，所以最长路径问题也是一个NP完全问题；
（c）最大SAT：与8.3的问题相似，令g等于CNF中字句的个数时，则SAT问题可归约成最大SAT问题，所以最大SAT问题也是一个NP完全问题；
（d）稠密子图：令b=a(a-1)/2，则此时图G中的a个顶点两两相连，最大团问题是此问题的一个特例，所以稠密子图问题是一个NP完全问题；
（e）稀疏子图：令b=0，则此时图G中的a个顶点两两互不相连，最大独立集是此问题的一个特例，所以稀疏子图问题是一个NP完全问题；
（f）集覆盖：集合覆盖是指从B={b1, b2, b3, …, bn}中找出一组集合使得其并集等于集合A，而顶点覆盖是指从V中找出一组顶点V’使得G中的每条边至少有1个顶点在V’中，最小顶点覆盖可以看成是集合覆盖的一个特例，所以集合覆盖也是一个NP完全问题；
（g）可靠网络：TSP问题是此问题的一个特例，所以可靠网络问题是一个NP完全问题。

8.14证明NP完全问题
（1）Problem：
Prove that the following problem is NP-complete: given an undirected graph G = (V, E) and an integer k, return a clique of size k as weill as an independent set of size k, provided both exist.
（2）Solution：
独立集问题和团集问题是等价的，假设要求图G中存在大小为k的团集，可以向原图G中增加k个互相独立的顶点，则这k个顶点构成了新图G大小为k的独立集，同时也不影响原图的团，团集问题可归约成此问题，因此该问题是NP完全问题。

8.15证明NP完全问题
（1）Problem：
Show that the following problem is NP-complete.
MAXIMUM COMMON SUBGRAPH
Input: Two graphs G1=(V1,E1) and G2=(V2,E2);a budget b.
Output: Two set of nodes V1’⊆V1 and V2’⊆V2 whose deletion leaves at least b nodes in each graph, and makes the two graphs identical.
（2）Solution：
假设G1=(V, E), G2=(V, Ø)，当存在至少b个顶点的最大公共子图时，即存在至少b个顶点的独立集。
a. 如果有图大小为b的最大公共子图，且这b个顶点不属于独立集，则至少有2个顶点有边相连，G1和G2的子图中这两个顶点就是相连的，而因为假设条件中G2是不存在边的，出现矛盾，因此这b个顶点属于独立集；
b. 如果有b个顶点属于独立集，我们取这b个顶点构成G1和G2的子图，所以G1中这b个顶点之间不存在边，G2又是没有边的图，所以这两个子图就是相同的，也就是存在大小为b的公共子图。
因此，独立集问题是这个问题的一个特例，这个问题就是NP完全问题。