Codeforces_1140E_有想法的分类讨论DP

Codeforces 1140E

——有想法的分类讨论DP

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题目大意

给一个长度为n的序列，其中-1的位置可被任意[1,k]的整数代替。要求是序列中的任意奇数长度子串不是回文串。问有多少种填充方案（不同序列）。

思路

首先转换题意，序列中的任意奇数长度子串不是回文串，可通过 $a[i]̸=a[i+2]$ 条件满足，因为只要长度为3不满足，即可没有满足的奇数长度回文串。

这时，我们将奇数位与偶数位分开考虑会更方便清楚： $odd[i]̸=odd[i+1]$ && $even[i]̸=even[i+1]$ .

可以想到要根据-1段段长和两端考虑，两端相同的同一段长贡献的方案数相同，用dp数组来求解并记录。分两端相同(0)与两端不同(1)来记录。写出状态转移方程：

$dp[i][0]=(k-1)\ast dp[i-1][1]$

$dp[i][1]=dp[i-1][0]+(k-2)\ast dp[i-1][1]$

解释一下：

对于dp[i][0]，i+1位即右端与左端相同，要满足i位与i+1即左端不同即可，dp[i-1][1]恰好可以满足需要，其第i位即右端与左端不同，同时第i位可填k-1种不同数字；

对于dp[i][1]，i+1位即右端与左端不同，要满足i位与i+1不同且i+1位与左端不同，则有i位与左端相同的情况，即dp[i-1][0]，还有它们均不同的情况，即(k-2)*dp[i-1][1]。

然后就分奇偶串考虑连续-1段即可，分两端均无、一端无、和两端均有数字情况考虑。

AC代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn=2e5+10;
const int mod=998244353;

int n,k,m;
int a[maxn],b[maxn];
long long dp[maxn][2];  //dp[i][0]两端相同，长度i的-1串 dp[i][1]两端不同，长度i的-1串
long long ans1,ans2;

long long qpow(int x,int n)
{
    long long y=1;
    while(n){
        if(n&1) y=1ll*x*y%mod;
        x=1ll*x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return y;
}

long long solve()
{
    int l=1,r=0,cnt=0;
    long long res=1;

    for(int i=1;i<=m;++i){
        if(b[i]==-1){
            ++cnt;
            continue;
        }
        if(b[i]==b[i-1]) return 0;
        r=i-1;
        if(l<=r){
            if(l==1){
                res*=qpow(k-1,r-l+1)%mod;
                res%=mod;
            }
            else{
                res*=dp[r-l+1][b[l-1]!=b[r+1]]%mod;
                res%=mod;
            }
        }
        l=i+1;
    }
    r=m;
    if(l==1&&r==m){
        res=k*qpow(k-1,m-1)%mod;
    }
    else if(l<=r){
        res*=qpow(k-1,r-l+1)%mod;
        res%=mod;
    }

    return res;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&k)){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
        dp[1][0]=k-1;dp[1][1]=k-2;
        for(int i=2;i<=n;++i){
            dp[i][0]=(k-1)*dp[i-1][1];
            dp[i][1]=(dp[i-1][0]%mod+1ll*(k-2)*dp[i-1][1]%mod)%mod;
        }
        b[0]=0;
        m=n/2+n%2;
        for(int i=1;i<=n;i+=2) b[(i+1)>>1]=a[i];
        ans1=solve();
        m=n/2;
        for(int i=2;i<=n;i+=2) b[i>>1]=a[i];
        ans2=solve();
        printf("%lld\n",ans1*ans2%mod);
    }

    return 0;
}