2019数学三考研真题线性代数部分解析
01 选择题
一、5 设 A A A是四阶矩阵， A ∗ A^* A∗是 A A A的伴随矩阵。若线性方程组
A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系中只有两个向量，则 A ∗ A^* A∗的秩等于（ ）
A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
解： 条件“若线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系中只有两个向量”告诉了矩阵 A A A的秩： r ( A ) = 4 − 2 = 2 r(A)=4-2=2 r(A)=4−2=2。由 r ( A ∗ ) r(A^*) r(A∗)与 r ( A ) r(A) r(A)的关系：
r ( A ∗ ) = { n , r ( A ) = n ; 1 , r ( A ) = n − 1 ; 0 , r ( A ) < n − 1. r(A^*)=\begin{cases} n, & r(A)=n;\\ 1, & r(A)=n-1;\\ 0, & r(A)<n-1.\end{cases} r(A∗)=⎩⎪⎨⎪⎧n,1,0,r(A)=n;r(A)=n−1;r(A)<n−1.
知， 选 A.
一、6 设 A A A是三阶方阵， E E E是三阶单位阵，若 A 2 + A = 2 E A^2+A=2E A2+A=2E,且 ∣ A ∣ = 4 |A|=4 ∣A∣=4。则 X T A X X^TAX XTAX的规范形为（ ）
A. y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 y_1^2+y_2^2+y_3^2\quad \quad\quad \quad y12+y22+y32 B. y 1 2 + y 2 2 − y 3 2 y_1^2+y_2^2-y_3^2 y12+y22−y32
C. y 1 2 − y 2 2 − y 3 2 y_1^2-y_2^2-y_3^2\quad \quad\quad \quad y12−y22−y32 D. − y 1 2 − y 2 2 − y 3 2 -y_1^2-y_2^2-y_3^2 −y12−y22−y32
解：求 X T A X X^TAX XTAX的规范形关键是弄清楚正惯性指数和负惯性指数。本题的二次型是抽象的，条件“ A 2 + A = 2 E A^2+A=2E A2+A=2E”显然是告诉了 A A A的特征值满足关系： λ 2 + λ − 2 = 0 \lambda^2+\lambda-2=0 λ2+λ−2=0。所以， λ 1 = − 2 , λ 2 = 1 \lambda_1=-2, \lambda_2=1 λ1=−2,λ2=1. 又因为 λ 1 λ 2 λ 3 = ∣ A ∣ = 4 \lambda_1\lambda_2\lambda_3=|A|=4 λ1λ2λ3=∣A∣=4, 所以 λ 3 = − 2 \lambda_3=-2 λ3=−2. 由特征值的符号知道，正惯性指数为1，负惯性指数为2， 所以选C.
02 填空题
二、13 设
A = ( 1 0 − 1 1 1 − 1 0 1 a 2 − 1 ) , b = ( 0 1 a ) A=\begin{pmatrix}1 & 0& -1 \\ 1& 1& -1\\0& 1 &a^2-1 \end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}0\\1 \\ a\end{pmatrix} A=⎝⎛110011−1−1a2−1⎠⎞,b=⎝⎛01a⎠⎞,
A x = b Ax=b Ax=b有无穷多解，则 a = ( ) . a= ( \quad ). a=().
解：由克莱默法则的逆否命题知， ∣ A ∣ = 0. |A|=0. ∣A∣=0.
∣ A ∣ = ∣ 1 0 − 1 1 1 − 1 0 1 a 2 − 1 ∣ = ∣ 1 0 − 1 0 1 0 0 1 a 2 − 1 ∣ = a 2 − 1 = 0 , |A|=\begin{vmatrix}1 & 0& -1 \\ 1& 1& -1\\0& 1 &a^2-1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0& -1 \\ 0& 1&0\\0& 1 &a^2-1 \end{vmatrix}=a^2-1=0, ∣A∣=∣∣∣∣∣∣110011−1−1a2−1∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣100011−10a2−1∣∣∣∣∣∣=a2−1=0,
所以， a = 1 a=1 a=1或 a = − 1 a=-1 a=−1. 注意 a = − 1 a=-1 a=−1时，增广矩阵化简为，
( A b ) = ( 1 0 − 1 0 1 1 − 1 1 0 1 0 − 1 ) → ( 1 0 − 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 ) , (Ab)=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\1&1&-1&1\\0&1&0&-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&0&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}, (Ab)=⎝⎛110011−1−1001−1⎠⎞→⎝⎛100010−100011⎠⎞,
所以， r ( A ) = 2 < r ( A b ) = 3 r(A)=2<r(Ab)=3 r(A)=2<r(Ab)=3, 此时无解，舍去 a = − 1 a=-1 a=−1. 当， a = 1 a=1 a=1时， r ( A ) = r ( A b ) = 2 < 3 r(A)=r(Ab)=2<3 r(A)=r(Ab)=2<3,此时有无穷多解，所以填 a = 1 a=1 a=1.
03 解答题
三、20 已知向量组（I）
α 1 = ( 1 1 4 ) , α 2 = ( 1 0 4 ) , α 3 = ( 1 2 a 2 + 3 ) , \alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\2\\a^2+3\end{pmatrix}, α1=⎝⎛114⎠⎞,α2=⎝⎛104⎠⎞,α3=⎝⎛12a2+3⎠⎞,
(II) β 1 = ( 1 1 a + 3 ) , β 2 = ( 0 2 1 − a ) , β 3 = ( 1 3 a 2 + 3 ) , \beta_1=\begin{pmatrix}1\\1\\a+3\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\2\\1-a\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}1\\3\\a^2+3\end{pmatrix}, β1=⎝⎛11a+3⎠⎞,β2=⎝⎛021−a⎠⎞,β3=⎝⎛13a2+3⎠⎞,
若向量组(I)与(II)等价，求 a a a的值，并将 β 3 \beta_3 β3用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性表示.
解：令 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) A=(α1,α2,α3), B = ( β 1 , β 2 , β 3 ) . B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3). B=(β1,β2,β3).
A A A与 B B B等价当且仅当 r ( A ) = r ( B ) . r(A)=r(B). r(A)=r(B). 将 ( A B ) (A B) (AB)化为阶梯形.
[ 1 1 1 1 0 1 1 0 2 1 2 3 4 4 a 2 + 3 a + 3 1 − a a 2 + 3 ] \begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\1&0&2&1&2&3\\4&4&a^2+3&a+3&1-a&a^2+3\end{bmatrix} ⎣⎡11410412a2+311a+3021−a13a2+3⎦⎤
→ [ 1 1 1 1 0 1 0 − 1 1 0 2 2 0 0 a 2 − 1 a − 1 1 − a a 2 − 1 ] \rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&-1&1&0&2&2\\0&0&a^2-1&a-1&1-a&a^2-1\end{bmatrix} →⎣⎡1001−1011a2−110a−1021−a12a2−1⎦⎤
→ [ 1 1 1 1 0 1 0 1 − 1 0 − 2 − 2 0 0 a 2 − 1 a − 1 1 − a a 2 − 1 ] ( 1 ) \rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&1&-1&0&-2&-2\\0&0&a^2-1&a-1&1-a&a^2-1\end{bmatrix}\quad (1) →⎣⎡1001101−1a2−110a−10−21−a1−2a2−1⎦⎤(1)
(1) 当 a 2 − 1 ≠ 0 a^2-1\neq0 a2−1̸=0，即 a ≠ ± 1 a\neq \pm1 a̸=±1时，将上述矩阵第三行乘以
1 a 2 − 1 \frac{1}{a^2-1} a2−11,得，
→ [ 1 1 1 1 0 1 0 1 − 1 0 − 2 − 2 0 0 1 1 a + 1 − 1 a + 1 1 ] , \rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&1&-1&0&-2&-2\\0&0&1&\frac{1}{a+1}&-\frac{1}{a+1}&1\end{bmatrix}, →⎣⎡1001101−1110a+110−2−a+111−21⎦⎤,
此时， r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B), 故向量组(I)与(II)等价. 为了将 β 3 \beta_3 β3用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性表示, 解非齐次线性方程组 ( A β 3 ) (A \beta_3) (Aβ3)，
( A β 3 ) → [ 1 0 2 3 0 1 0 − 1 0 0 1 1 ] (A\beta_3)\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&2&3\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\end{bmatrix} (Aβ3)→⎣⎡1000102013−11⎦⎤
→ [ 1 0 0 1 0 1 0 − 1 0 0 1 1 ] , \rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\end{bmatrix}, →⎣⎡1000100011−11⎦⎤,
所以， β 3 = α 1 − α 2 + α 3 . \beta_3=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3. β3=α1−α2+α3.
(2)将 a = 1 a=1 a=1代入上面的公式（1），得，
[ 1 1 1 1 0 1 0 1 − 1 0 − 2 − 2 0 0 0 0 0 0 ] , \begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&1&-1&0&-2&-2\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}, ⎣⎡1001101−101000−201−20⎦⎤,
此时， r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B), 故向量组(I)与(II)等价. 为了将 β 3 \beta_3 β3用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性表示, 解非齐次线性方程组 ( A β 3 ) (A \beta_3) (Aβ3)，（非齐次线性方程组的解法参阅）
( A β 3 ) → [ 1 1 1 1 0 1 − 1 − 2 0 0 0 0 ] (A \beta_3)\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&-1&-2\\0&0&0&0\end{bmatrix} (Aβ3)→⎣⎡1001101−101−20⎦⎤
→ [ 1 0 2 3 0 1 − 1 − 2 0 0 0 0 ] , \rightarrow\begin{bmatrix}1&0&2&3\\0&1&-1&-2\\0&0&0&0\end{bmatrix}, →⎣⎡1000102−103−20⎦⎤,
故齐次方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系为
η = [ − 2 1 1 ] \eta=\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix} η=⎣⎡−211⎦⎤,
非齐次方程组 A x = β 3 Ax=\beta_3 Ax=β3的一个特解为,
γ 0 = [ 3 − 2 0 ] \gamma_0=\begin{bmatrix}3\\-2\\0\end{bmatrix} γ0=⎣⎡3−20⎦⎤,
于是，
β 3 = [ 3 − 2 0 ] + k [ − 2 1 1 ] \beta_3=\begin{bmatrix}3\\-2\\0\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix} β3=⎣⎡3−20⎦⎤+k⎣⎡−211⎦⎤
β 3 = [ 3 − 2 k − 2 + k k ] , \beta_3=\begin{bmatrix}3-2k\\-2+k\\k\end{bmatrix}, β3=⎣⎡3−2k−2+kk⎦⎤,
所以， β 3 = ( 3 − 2 k ) α 1 + ( − 2 + k ) α 2 + k α 3 . \beta_3=(3-2k)\alpha_1+(-2+k)\alpha_2+k\alpha_3. β3=(3−2k)α1+(−2+k)α2+kα3.
(3)将 a = − 1 a=-1 a=−1代入上面的公式（1），得，
[ 1 1 1 1 0 1 0 1 − 1 0 − 2 − 2 0 0 0 0 − 2 0 ] , \begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&1&-1&0&-2&-2\\0&0&0&0&-2&0\end{bmatrix}, ⎣⎡1001101−101000−2−21−20⎦⎤,
因为 r ( A ) < r ( B ) r(A)<r(B) r(A)<r(B), 所以此时向量组(I)与(II)不等价. □ \quad \square □
注：第（3）种情况，虽然向量组(I)与(II)不等价，但是 β 3 \beta_3 β3却能被向量组（I）线性表出，且表示法与第（2）题相同.
三、21 已知矩阵
A = [ − 2 − 2 1 2 x − 2 0 0 − 2 ] 与 B = [ 2 1 0 0 − 1 0 0 0 y ] A=\begin{bmatrix}-2&-2&1\\2&x&-2\\0&0&-2\end{bmatrix}与B=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&-1&0\\0&0&y\end{bmatrix} A=⎣⎡−220−2x01−2−2⎦⎤与B=⎣⎡2001−1000y⎦⎤
相似，（I）求 x , y ; x,y; x,y;
(II)求可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P = B . P^{-1}AP=B. P−1AP=B.
解：（I）由 A A A与 B B B相似，得 t r ( A ) = t r ( B ) tr(A)=tr(B) tr(A)=tr(B)且 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣,所以得方程组，
{ x − 4 = y + 1 4 ( x − 2 ) = − 2 y \begin{cases}x-4=y+1\\ 4(x-2)=-2y\end{cases} {x−4=y+14(x−2)=−2y
解得，
{ x = 3 y = − 2 \begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases} {x=3y=−2
(II) 将 y = − 2 y=-2 y=−2代入矩阵 B B B, 由
∣ λ E − B ∣ = 0 , |\lambda E-B|=0, ∣λE−B∣=0,
容易解得 B B B,从而 A A A的三个特征值为 2 , − 1 , − 2 2,-1,-2 2,−1,−2, 它们有三个不同的特征值，从而可以对角化,令
Λ = d i a g ( 2 , − 1 , − 2 ) , \Lambda=diag(2,-1,-2), Λ=diag(2,−1,−2),
由相似对角化理论，分别存在可逆矩阵 P 1 , P 2 P_1,P_2 P1,P2使得，
P 1 − 1 A P 1 = Λ = P 2 − 1 B P 2 , P_1^{-1}AP_1=\Lambda=P_2^{-1}BP_2, P1−1AP1=Λ=P2−1BP2,
于是
B = P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 , B=P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}, B=P2P1−1AP1P2−1,
其中 P i ( i = 1 , 2 ) P_i(i=1,2) Pi(i=1,2)是分别由 A ， B A，B A，B特征向量（相应于特征值
2 , − 1 , − 2 2,-1,-2 2,−1,−2）组成的矩阵.
为了求 P 1 P_1 P1, 要解三个齐次线性方程组 ( λ i E − A ) = 0 , (\lambda_i E-A)=0, (λiE−A)=0,
由于解齐次方程组的方法是一样的，所以下面我们只解一个作为例子：
当 λ = 2 \lambda=2 λ=2时，
[ 4 2 − 1 − 2 − 1 2 0 0 4 ] → [ 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 ] , \begin{bmatrix}4&2&-1\\-2&-1&2\\0&0&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}, ⎣⎡4−202−10−124⎦⎤→⎣⎡1002100010⎦⎤,
得解向量，
η 1 = [ − 1 2 0 ] , \eta_1=\begin{bmatrix}-1\\2\\0\end{bmatrix}, η1=⎣⎡−120⎦⎤,
同理，
η 2 = [ − 2 1 0 ] , η 3 = [ − 1 2 4 ] , \eta_2=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix},\eta_3=\begin{bmatrix}-1\\2\\4\end{bmatrix}, η2=⎣⎡−210⎦⎤,η3=⎣⎡−124⎦⎤,
从而，
P 1 = [ − 1 − 2 − 1 0 1 2 2 0 4 ] . P_1=\begin{bmatrix}-1&-2&-1\\0&1&2\\2&0&4\end{bmatrix}. P1=⎣⎡−102−210−124⎦⎤.
P 2 P_2 P2的解法与 P 1 P_1 P1类似，兹不赘述, 只给出结果.
P 2 = [ 1 − 1 0 0 3 0 0 0 1 ] . P_2=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}. P2=⎣⎡100−130001⎦⎤.
由前面的分析，
B = P 2 P 1 − 1 A P 1 P 2 − 1 , B=P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1}, B=P2P1−1AP1P2−1,
所以第二问中的 P = P 1 P 2 − 1 P=P_1P_2^{-1} P=P1P2−1, 这等价于解下面的矩阵方程：
X P 2 = P 1 , XP_2=P_1, XP2=P1,
为此，作分块矩阵：
[ 1 − 1 0 0 3 0 0 0 1 − 1 − 2 − 1 2 1 2 0 0 4 ] → [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 − 1 − 1 − 1 2 1 2 0 0 4 ] \begin{bmatrix}1&-1&0\\0&3&0\\0&0&1\\-1&-2&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\-1&-1&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡100−120−130−210001−124⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤→⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡100−120010−110001−124⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
所以，令
P = [ − 1 − 1 − 1 2 1 2 0 0 4 ] , P=\begin{bmatrix}-1&-1&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{bmatrix}, P=⎣⎡−120−110−124⎦⎤,
有 P − 1 A P = B . P^{-1}AP=B. P−1AP=B. □ \quad \square □
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