用正交变换将二次型化为标准形
用正交变换将二次型化为标准形
用正交变换将二次型化为标准形是数学三考研中的重要题型，它综合考察了学生对二次型理论、相似对角化理论、欧式空间理论掌握的熟练程度。解题过程要用到写二次型的矩阵、求矩阵的特征值和特征向量、施密特正交化、单位化等等计算技能，对学生的线性代数知识要求比较高。这类问题往往含有参数，第一问确定参数，第二问求二次型的 标准形。
下面用例子说明这种问题的解法。
理论依据
定理 对于任意一个 n n n级实对称矩阵 A A A，都存在一个 n n n级正交矩阵 T T T，使得 T ′ A T = T − 1 A T T^\prime AT=T^{-1}AT T′AT=T−1AT成为对角矩阵 Λ \Lambda Λ.
说明：由于正交矩阵 T T T满足 T ′ T = E T^\prime T=E T′T=E， 所以 T ′ A T = T − 1 A T = Λ . T^\prime AT=T^{-1}AT=\Lambda. T′AT=T−1AT=Λ. 这个等式既可以解释为将二次型化为标准形，又可以解释为用相似变换将矩阵 A A A化为对角矩阵 Λ \Lambda Λ. 合同变换过程可以用相似对角化过程代替，这种求二次型的标准形的方法就是特征值方法.
解题步骤
- 写出二次型的矩阵；
- 求出矩阵的特征值和特征向量；
- 将特征向量组作施密特正交化和单位化；
- 写出正交矩阵 T T T和对角矩阵 Λ \Lambda Λ;
- 作结论。
第一题
例1 用正交变换将二次型 X T A X = x 1 2 + 5 x 2 2 + 5 x 3 2 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 \displaystyle X^TAX=x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3 XTAX=x12+5x22+5x32+2x1x2−4x1x3化为标准形.
解：令
A = [ 1 1 − 2 1 5 0 − 2 0 5 ] . A=\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&5&0\\-2&0&5\end{bmatrix}. A=⎣⎡11−2150−205⎦⎤.
由矩阵的特征多项式
∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 1 − 1 2 − 1 λ − 5 0 2 0 λ − 5 ∣ |\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&2\\-1&\lambda-5&0\\2&0&\lambda-5\end{vmatrix} ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣λ−1−12−1λ−5020λ−5∣∣∣∣∣∣
= 2 r 2 + r 3 ∣ λ − 1 − 1 2 − 1 λ − 5 0 0 2 ( λ − 5 ) λ − 5 ∣ \xlongequal{2r_2+r_3}\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&2\\-1&\lambda-5&0\\0&2(\lambda-5)&\lambda-5\end{vmatrix} 2r2+r3∣∣∣∣∣∣λ−1−10−1λ−52(λ−5)20λ−5∣∣∣∣∣∣
= − 2 c 3 + c 2 ∣ λ − 1 − 5 2 − 1 λ − 5 0 0 0 λ − 5 ∣ \xlongequal{-2c_3+c_2}\begin{vmatrix}\lambda-1&-5&2\\-1&\lambda-5&0\\0&0&\lambda-5\end{vmatrix} −2c3+c2∣∣∣∣∣∣λ−1−10−5λ−5020λ−5∣∣∣∣∣∣
按照第三行展开得，
= ( λ − 5 ) ( λ 2 − 6 λ ) =(\lambda-5)(\lambda^2-6\lambda) =(λ−5)(λ2−6λ)
得到 A \displaystyle A A的特征值为0，5，6.
当 λ = 5 \lambda=5 λ=5时，由 ( 5 E − A ) x = 0 \displaystyle (5E-A)x=0 (5E−A)x=0, 即
[ 4 − 1 2 − 1 0 0 2 0 0 ] → [ 1 0 0 0 1 − 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix}4&-1&2\\-1&0&0\\2&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&0\end{bmatrix} ⎣⎡4−12−100200⎦⎤→⎣⎡1000100−20⎦⎤
得基础解系
α 1 = [ 0 , 2 , 1 ] T \alpha_1=\begin{bmatrix}0,&2,&1\end{bmatrix}^T α1=[0,2,1]T，即 λ = 5 \lambda=5 λ=5的特征向量.
当 λ = 6 \lambda=6 λ=6时，由 ( 6 E − A ) x = 0 \displaystyle (6E-A)x=0 (6E−A)x=0, 即
[ 5 − 1 2 − 1 1 0 2 0 1 ] → [ 1 0 1 2 0 1 1 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix}5&-1&2\\-1&1&0\\2&0&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&\frac{1}{2}\\0&0&0\end{bmatrix} ⎣⎡5−12−110201⎦⎤→⎣⎡10001021210⎦⎤
得基础解系
α 2 = [ 1 , 1 , − 2 ] T ， \alpha_2=\begin{bmatrix}1,&1,&-2\end{bmatrix}^T， α2=[1,1,−2]T，
即 λ = 6 \lambda=6 λ=6的特征向量.
当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时，由 ( 0 E − A ) x = 0 \displaystyle (0E-A)x=0 (0E−A)x=0, 即
[ − 1 − 1 2 − 1 − 5 0 2 0 − 5 ] → [ 1 0 − 5 2 0 1 1 2 0 0 0 ] \begin{bmatrix}-1&-1&2\\-1&-5&0\\2&0&-5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&-\frac{5}{2}\\0&1&\frac{1}{2}\\0&0&0\end{bmatrix} ⎣⎡−1−12−1−5020−5⎦⎤→⎣⎡100010−25210⎦⎤
得基础解系
α 3 = [ 5 , − 1 , 2 ] T ， \alpha_3=\begin{bmatrix}5,&-1,&2\end{bmatrix}^T， α3=[5,−1,2]T，
即 λ = 0 \lambda=0 λ=0的特征向量.
由于实对称矩阵，特征值不同时特征向量已经正交，故只需单位化，有
γ 1 = 1 5 [ 0 2 1 ] , γ 2 = 1 6 [ 1 1 − 2 ] , γ 3 = 1 3 0 [ 5 − 1 2 ] . \gamma_1=\frac{1}{\sqrt 5}\begin{bmatrix}0\\2\\1\end{bmatrix}, \gamma_2=\frac{1}{\sqrt 6}\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}, \gamma_3=\frac{1}{\sqrt 30}\begin{bmatrix}5\\-1\\2\end{bmatrix}. γ1=51⎣⎡021⎦⎤,γ2=61⎣⎡11−2⎦⎤,γ3=301⎣⎡5−12⎦⎤.
令
P = [ γ 1 , γ 2 , γ 3 ] = [ 0 1 6 5 3 0 2 5 1 6 − 1 3 0 1 5 − 2 6 2 3 0 ] P=\begin{bmatrix}\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\frac{1}{\sqrt 6}&\frac{5}{\sqrt 30}\\\frac{2}{\sqrt 5}&\frac{1}{\sqrt 6}&-\frac{1}{\sqrt 30}\\\frac{1}{\sqrt 5}&-\frac{2}{\sqrt 6}&\frac{2}{\sqrt 30}\end{bmatrix} P=[γ1,γ2,γ3]=⎣⎢⎡052516161−62305−301302⎦⎥⎤
经正交变换 x = P y x=Py x=Py, 二次型化为标准形
X T A X = 5 y 1 2 + 6 y 2 2 . □ X^TAX=5y_1^2+6y_2^2. \quad\quad \square XTAX=5y12+6y22.□
第二题
例2 用正交变换将二次型 X T A X = 2 x 1 2 + 2 x 2 2 + 2 x 3 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 X^TAX=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3 XTAX=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3−2x2x3化为标准形.
解：计算特征值和特征向量的过程同例１，故省略这部分的步骤．
这个二次型的矩阵为
A = [ 2 1 1 1 2 − 1 1 − 1 2 ] A=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{bmatrix} A=⎣⎡21112−11−12⎦⎤
经计算，特征值为 λ 1 = λ 2 = 3 , λ 3 = 0. \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=3, \lambda_3=0. λ1=λ2=3,λ3=0.
它们对应的特征向量分别为，
α 1 = [ 1 , 1 , 0 ] T , α 2 = [ 1 , 0 , 1 ] T , α 3 = [ − 1 , 1 , 1 ] T \alpha_1=\begin{bmatrix}1,&1,&0\end{bmatrix}^T, \alpha_2=\begin{bmatrix}1,&0,&1\end{bmatrix}^T, \alpha_3=\begin{bmatrix}-1,&1,&1\end{bmatrix}^T α1=[1,1,0]T,α2=[1,0,1]T,α3=[−1,1,1]T
因为 λ = 3 \displaystyle \lambda=3 λ=3时，特征向量 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2不正交，故需Schmidt正交化.
令
β 1 = α 1 = [ 1 1 0 ] , \beta_1=\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, β1=α1=⎣⎡110⎦⎤,
则
β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1
= [ 1 0 1 ] − 1 2 [ 1 1 0 ] = 1 2 [ 1 − 1 2 ] . =\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}. =⎣⎡101⎦⎤−21⎣⎡110⎦⎤=21⎣⎡1−12⎦⎤.
单位化，有
γ 1 = 1 2 [ 1 1 0 ] , γ 2 = 1 6 [ 1 − 1 2 ] , γ 3 = 1 3 [ − 1 1 1 ] . \gamma_1=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix},\gamma_2=\frac{1}{\sqrt 6}\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix},\gamma_3=\frac{1}{\sqrt 3}\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}. γ1=21⎣⎡110⎦⎤,γ2=61⎣⎡1−12⎦⎤,γ3=31⎣⎡−111⎦⎤.
令 P = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) , \displaystyle P=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3), P=(γ1,γ2,γ3),
那么，经过正交变换 x = P y , \displaystyle x=Py, x=Py,有
X T A X = Y T Λ Y = 3 y 1 2 + 3 y 2 2 . X^TAX=Y^T\Lambda Y=3y_1^2+3y_2^2. XTAX=YTΛY=3y12+3y22.
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