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math: 卡尔曼滤波算法原理以及python实例

文章来源维基百科

卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器（自回归滤波器），它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。

卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，通过对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。在很多工程应用（如雷达、计算机视觉）中都可以找到它的身影。同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要课题。例如，对于雷达来说，人们感兴趣的是其能够跟踪目标。但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息，设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计（滤波），也可以是对于将来位置的估计（预测），也可以是对过去位置的估计（插值或平滑）。这种滤波方法以它的发明者鲁道夫.E.卡尔曼（Rudolph E. Kalman）命名，原文地址。

基本动态系统模型

卡尔曼滤波建立在线性代数和隐马尔可夫模型（hidden Markov model）上。其基本动态系统可以用一个马尔可夫链表示，该马尔可夫链建立在一个被高斯噪声（即正态分布的噪声）干扰的线性算子上的。系统的状态可以用一个元素为实数的向量表示。随着离散时间的每一个增加，这个线性算子就会作用在当前状态上，产生一个新的状态，并也会带入一些噪声，同时系统的一些已知的控制器的控制信息也会被加入。同时，另一个受噪声干扰的线性算子产生出这些隐含状态的可见输出。

为了从一系列有噪声的观察数据中用卡尔曼滤波器估计出被观察过程的内部状态，我们必须把这个过程在卡尔曼滤波的框架下建立模型。也就是说对于每一步k，定义矩阵F_k, H_k, Q_k,R_k，有时也需要定义B_k，如下。

卡尔曼滤波器的模型。圆圈代表向量，方块代表矩阵，星号代表高斯噪声，其协方差矩阵在右下方标出。

卡尔曼滤波模型假设k时刻的真实状态是从（k − 1）时刻的状态演化而来，符合下式：

$\textbf{x}_{k} = \textbf{F}_{k} \textbf{x}_{k-1} + \textbf{B}_{k}\textbf{u}_{k-1} + \textbf{w}_{k-1}$

其中

F_k是作用在x_k−1上的状态变换模型（/矩阵/矢量）。
B_k是作用在控制器向量u_k上的输入－控制模型。
w_k是过程噪声，并假定其符合均值为零，协方差矩阵为Q_k的多元正态分布。

\textbf{w}_{k} \sim N(0, \textbf{Q}_k)

时刻k，对真实状态x_k的一个测量z_k满足下式：

\textbf{z}_{k} = \textbf{H}_{k} \textbf{x}_{k} + \textbf{v}_{k}

其中H_k是观测模型，它把真实状态空间映射成观测空间，v_k是观测噪声，其均值为零，协方差矩阵为R_k,且服从正态分布。

\textbf{v}_{k} \sim N(0, \textbf{R}_k)

初始状态以及每一时刻的噪声{x₀, w₁, ..., w_k, v₁ ... v_k}都认为是互相独立的。

实际上，很多真实世界的动态系统都并不确切的符合这个模型；但是由于卡尔曼滤波器被设计在有噪声的情况下工作，一个近似的符合已经可以使这个滤波器非常有用了。更多其它更复杂的卡尔曼滤波器的变种，在下边讨论中有描述。

卡尔曼滤波器

卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计的历史信息。卡尔曼滤波器与大多数滤波器不同之處，在於它是一种纯粹的时域滤波器，它不需要像低通滤波器等频域滤波器那样，需要在频域设计再转换到时域实现。

卡尔曼滤波器的状态由以下两个变量表示：

$\hat{\textbf{x}}_{k|k}$ ，在时刻k的状态的估计；
$\textbf{P}_{k|k}$ ，误差相关矩阵，度量估计值的精确程度。

卡尔曼滤波器的操作包括两个阶段：预测与更新。在预测阶段，滤波器使用上一状态的估计，做出对当前状态的估计。在更新阶段，滤波器利用对当前状态的观测值优化在预测阶段获得的预测值，以获得一个更精确的新估计值。

预测

\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}

(预测状态)

\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{T} + \textbf{Q}_{k}

(预测估计协方差矩阵）

更新

首先要算出以下三个量：

\tilde{\textbf{y}}_{k} = \textbf{z}_{k} - \textbf{H}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}

(测量余量，measurement residual)

\textbf{S}_{k} = \textbf{H}_{k}\textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_{k}^{T} + \textbf{R}_{k}

(测量余量协方差)

\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_{k}^{T}\textbf{S}_{k}^{-1}

(最优卡尔曼增益）

然后用它们来更新滤波器变量x与P：

\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_{k}\tilde{\textbf{y}}_{k}

(更新的状态估计)

\textbf{P}_{k|k} =(I - \textbf{K}_{k} \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k|k-1}

(更新的协方差估计）

使用上述公式计算 $\textbf{P}_{k|k}$ 仅在最优卡尔曼增益的时候有效。使用其他增益的话，公式要复杂一些，请参见推导。

不变量（Invariant）

如果模型准确，而且 $\hat{\textbf{x}}_{0|0}$ 与 $\textbf{P}_{0|0}$ 的值准确的反映了最初状态的分布，那么以下不变量就保持不变：所有估计的误差均值为零

$\textrm{E}[\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k}] = \textrm{E}[\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k-1}] = 0$
$\textrm{E}[\tilde{\textbf{y}}_k] = 0$

且协方差矩阵准确的反映了估计的协方差：

$\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k})$
$\textbf{P}_{k|k-1} = \textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k-1})$
$\textbf{S}_{k} = \textrm{cov}(\tilde{\textbf{y}}_k)$

请注意，其中 $\textrm{E}[\textbf{a}]$ 表示 ${a}$ 的期望值, $\textrm{cov}(\textbf{a}) = \textrm{E}[\textbf{a}\textbf{a}^T]$ 。

实例

考虑在无摩擦的、无限长的直轨道上的一辆车。该车最初停在位置0处，但时不时受到随机的冲击。我们每隔△t秒即测量车的位置，但是这个测量是非精确的；我们想建立一个关于其位置以及速度的模型。我们来看如何推导出这个模型以及如何从这个模型得到卡尔曼滤波器。

因为车上无动力，所以我们可以忽略掉B_k和u_k。由于F、H、R和Q是常数，所以时间下标可以去掉。

车的位置以及速度（或者更加一般的，一个粒子的运动状态）可以被线性状态空间描述如下：

\textbf{x}_{k} = \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix}

其中 $\dot{x}$ 是速度，也就是位置对于时间的导数。

我们假设在（k-1）时刻与k时刻之间，车受到a_k的加速度，其符合均值为0，标准差为σ_a的正态分布。根据牛顿运动定律，我们可以推出

\textbf{x}_{k} = \textbf{F} \textbf{x}_{k-1} + \textbf{G}a_{k}

其中

\textbf{F} = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

且

\textbf{G} = \begin{bmatrix} \frac{\Delta t^{2}}{2} \\ \Delta t \end{bmatrix}

我们可以发现

\textbf{Q} = \textrm{cov}(\textbf{G}a) = \textrm{E}[(\textbf{G}a)(\textbf{G}a)^{T}] = \textbf{G} \textrm{E}[a^2] \textbf{G}^{T} = \textbf{G}[\sigma_a^2]\textbf{G}^{T} = \sigma_a^2 \textbf{G}\textbf{G}^{T}

（因为σ_a是一个标量）。

在每一时刻，我们对其位置进行测量，测量受到噪声干扰。我们假设噪声服从正态分布，均值为0，标准差为σ_z。

\textbf{z}_{k} = \textbf{H x}_{k} + \textbf{v}_{k}

其中

\textbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}

且

\textbf{R} = \textrm{E}[\textbf{v}_k \textbf{v}_k^{T}] = \begin{bmatrix} \sigma_z^2 \end{bmatrix}

如果我们知道足够精确的车最初的位置，那么我们可以初始化

\hat{\textbf{x}}_{0|0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

并且，我们告诉滤波器我们知道确切的初始位置，我们给出一个协方差矩阵：

\textbf{P}_{0|0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

如果我們不确切的知道最初的位置与速度，那么协方差矩阵可以初始化为一个对角线元素是B的矩阵，B取一个合适的比较大的数。

\textbf{P}_{0|0} = \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}

此时，与使用模型中已有信息相比，滤波器更倾向于使用初次测量值的信息。

推导后验协方差矩阵

按照上边的定义，我们从误差协方差 $\textbf{P}_{k|k}$ 开始推导如下：

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k})

代入 $\hat{\textbf{x}}_{k|k}$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_{k}))

再代入 $\tilde{\textbf{y}}_k$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k(\textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1})))

与 $\textbf{z}_{k}$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k(\textbf{H}_k\textbf{x}_k + \textbf{v}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1})))

整理误差向量，得

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}((I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k-1}) - \textbf{K}_k \textbf{v}_k )

因为测量误差v_k与其他项是非相关的，因此有

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}((I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k},\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k-1})) + \textrm{cov}(\textbf{K}_k \textbf{v}_k )

利用协方差矩阵的性质，此式可以写作

\textbf{P}_{k|k} =(I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})\textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k-1},I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})^{T} + \textbf{K}_k\textrm{cov}(\textbf{v}_k )\textbf{K}_k^{T}

使用不变量P_k|k-1以及R_k的定义这一项可以写作： $\textbf{P}_{k|k}=(I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k|k-1}(I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})^T +\textbf{K}_k \textbf{R}_k \textbf{K}_k^T$ 这一公式对于任何卡尔曼增益K_k都成立。如果K_k是最优卡尔曼增益，则进一步简化，請見下文。

最优卡尔曼增益的推导

卡尔曼滤波器是一个最小均方误差估计器，后验状态误差估计（英文：a posteriori state estimate）是

\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}

我们最小化这个矢量幅度平方的期望值， $\textrm{E}[|\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}|^2]$ ，这等同于最小化后验估计协方差矩阵P_k|k的迹（trace）。将上面方程中的项展开、抵消，得到：

$\textbf{P}_{k\|k}$	$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_k^T \textbf{K}_k^T + \textbf{K}_k(\textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_k^T + \textbf{R}_k) \textbf{K}_k^T$
	$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_k^T \textbf{K}_k^T + \textbf{K}_k \textbf{S}_k\textbf{K}_k^T$

当矩阵导数是0的时候得到P_k|k的迹（trace）的最小值：

\frac{d \; \textrm{tr}(\textbf{P}_{k|k})}{d \;\textbf{K}_k} = -2(\textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1})^T + 2 \textbf{K}_k \textbf{S}_k = 0

此处须用到一個常用的式子，如下：

从这个方程解出卡尔曼增益K_k：

\textbf{K}_k \textbf{S}_k =(\textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1})^T = \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^T

\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^T \textbf{S}_k^{-1}

这个增益称为最优卡尔曼增益，在使用时得到最小均方误差。

后验误差协方差公式的化简

在卡尔曼增益等于上面导出的最优值时，计算后验协方差的公式可以进行简化。在卡尔曼增益公式两侧的右边都乘以S_kK_k^T得到

\textbf{K}_k \textbf{S}_k \textbf{K}_k^T = \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^T \textbf{K}_k^T

根据上面后验误差协方差展开公式，

\textbf{P}_{k|k} = \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^T \textbf{K}_k^T + \textbf{K}_k \textbf{S}_k \textbf{K}_k^T

最后两项可以抵消，得到

\textbf{P}_{k|k} = \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} =(I - \textbf{K}_{k} \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k|k-1}

这个公式的计算比较简单，所以实际中总是使用这个公式，但是需注意这公式仅在使用最优卡尔曼增益的时候它才成立。如果算术精度总是很低而导致数值稳定性出现问题，或者特意使用非最优卡尔曼增益，那么就不能使用这个简化；必须使用上面导出的后验误差协方差公式。

Python代码

[python]  view plain 
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# -*- coding=utf-8 -*-  
# Kalman filter example demo in Python  
  
# A Python implementation of the example given in pages 11-15 of "An  
# Introduction to the Kalman Filter" by Greg Welch and Gary Bishop,  
# University of North Carolina at Chapel Hill, Department of Computer  
# Science, TR 95-041,  
# http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/kalmanIntro.html  
  
# by Andrew D. Straw  
#coding:utf-8  
import numpy  
import pylab  
  
#这里是假设A=1，H=1的情况  
  
# 参数初始化  
n_iter = 50  
sz = (n_iter,) # size of array  
x = -0.37727 # truth value (typo in example at top of p. 13 calls this z)真实值  
z = numpy.random.normal(x,0.1,size=sz) # observations (normal about x, sigma=0.1)观测值  
  
Q = 1e-5 # process variance  
  
# 分配数组空间  
xhat=numpy.zeros(sz)      # a posteri estimate of x 滤波估计值  
P=numpy.zeros(sz)         # a posteri error estimate滤波估计协方差矩阵  
xhatminus=numpy.zeros(sz) # a priori estimate of x 估计值  
Pminus=numpy.zeros(sz)    # a priori error estimate估计协方差矩阵  
K=numpy.zeros(sz)         # gain or blending factor卡尔曼增益  
  
R = 0.1**2 # estimate of measurement variance, change to see effect  
  
# intial guesses  
xhat[0] = 0.0  
P[0] = 1.0  
  
for k in range(1,n_iter):  
    # 预测  
    xhatminus[k] = xhat[k-1]  #X(k|k-1) = AX(k-1|k-1) + BU(k) + W(k),A=1,BU(k) = 0  
    Pminus[k] = P[k-1]+Q      #P(k|k-1) = AP(k-1|k-1)A' + Q(k) ,A=1  
  
    # 更新  
    K[k] = Pminus[k]/( Pminus[k]+R ) #Kg(k)=P(k|k-1)H'/[HP(k|k-1)H' + R],H=1  
    xhat[k] = xhatminus[k]+K[k]*(z[k]-xhatminus[k]) #X(k|k) = X(k|k-1) + Kg(k)[Z(k) - HX(k|k-1)], H=1  
    P[k] = (1-K[k])*Pminus[k] #P(k|k) = (1 - Kg(k)H)P(k|k-1), H=1  
  
pylab.figure()  
pylab.plot(z,'k+',label='noisy measurements')     #观测值  
pylab.plot(xhat,'b-',label='a posteri estimate')  #滤波估计值  
pylab.axhline(x,color='g',label='truth value')    #真实值  
pylab.legend()  
pylab.xlabel('Iteration')  
pylab.ylabel('Voltage')  
  
pylab.figure()  
valid_iter = range(1,n_iter) # Pminus not valid at step 0  
pylab.plot(valid_iter,Pminus[valid_iter],label='a priori error estimate')  
pylab.xlabel('Iteration')  
pylab.ylabel('$(Voltage)^2$')  
pylab.setp(pylab.gca(),'ylim',[0,.01])  
pylab.show()  

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2025美赛数学建模C题思路模型代码（1.24第一时间更新）以下为近十年以来的美赛题目所用的模型算法年份题目研究内容数学模型算法2024年MCMA题研究海洋鳗鲡性别比例与资源可用性的关系，开发模型探讨其优劣势Lotka-Volterra模型、费舍尔性别比例理论、响应曲线模型、蒙特卡洛模拟粒子群优化（PSO）、贝叶斯推断、A*搜索、模拟退火2024年MCMB题定位失踪潜水器，准备搜索设备，确定搜索模
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美国阿拉斯加的朱诺市拥有约3万人口，并在2023年以1.6人的收入增长百万邮轮乘客，在最繁忙的日子里接待多达7艘大型游轮大约2万名游客。[1]虽然这些游客为在3.75亿美元的[2]，他们还带来了有关过度拥挤的问题，使城市努力限制客人的数量。具有讽刺意味的是，门登霍尔冰川，总理之一朱诺的景点一直在减少，主要是由于气温变暖，部分原因是过度旅游。自2007年以来，该冰川已经消退，相当于8个足球场，这使得
[论文精读]Understanding Diffusion Models: A Unified Perspective 0x211 论文精读数学建模
发布链接：http://arxiv.org/abs/2208.11970文章详细讨论了扩散模型（DiffusionModels）作为一种生成模型的工作原理，并从多个角度解释其背后的数学机制。阅读原因：实验需要理解SD的数学建模过程数学层面更好的解释：diffusionmodel(一)：DDPM技术小结(denoisingdiffusionprobabilistic)|莫叶何竹1.扩散模型简介扩散模
AI在电商中的应用系列文章 AI天才研究院 AI大模型企业级应用开发实战大数据AI人工智能 LLM大模型落地实战指南大数据人工智能语言模型 Java Python 架构设计
AI在电商中的应用作者：禅与计算机程序设计艺术文章目录AI在电商中的应用0.引言1.背景介绍1.1问题的由来1.2研究现状1.3研究意义1.4本文结构2.核心概念与联系3.核心算法原理&具体操作步骤3.1算法原理概述3.1.1个性化推荐3.1.2智能客服3.1.3销售预测3.2算法步骤详解3.3算法优缺点3.4算法应用领域4.数学模型和公式&详细讲解&举例说明4.1数学模型构建4.1.1推荐系统的
集合论导引：贝尔空间与波兰空间 AI天才研究院 AI大模型企业级应用开发实战 AI大模型应用入门实战与进阶大数据AI人工智能计算科学神经计算深度学习神经网络大数据人工智能大型语言模型 AI AGI LLM Java Python 架构设计 Agent RPA
集合论导引：贝尔空间与波兰空间1.背景介绍集合论是数学的一个基础分支，研究集合的性质和关系。贝尔空间和波兰空间是集合论中的两个重要概念，广泛应用于拓扑学、分析学和计算机科学等领域。本文旨在通过深入探讨这两个概念，帮助读者理解其核心原理、算法、数学模型及实际应用。2.核心概念与联系2.1贝尔空间贝尔空间（BaireSpace）是一个拓扑空间，通常表示为$\mathbb{N}^\mathbb{N}$，
高效处理大规模数据：MATLAB实践指南原机小子 matlab 信息可视化数据分析
在当今的数据驱动世界中，处理大规模数据集是科研和工程领域常见的挑战。MATLAB，作为一种高级数学软件，提供了一系列的工具和函数，使得大规模数据处理变得可行和高效。本文将介绍如何在MATLAB中进行大规模数据处理，包括数据导入、预处理、分析和可视化，并提供相应的代码示例。1.数据导入处理大规模数据的第一步是将数据导入MATLAB。MATLAB支持多种数据源，包括文本文件、Excel文件、数据库等。
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（全部都是公开资料，不代写论文，请勿盲目订阅）2025年数学建模美赛期间，会发布思路和代码，赛前半价，赛前会发布往年美赛的经典案例，赛题会结合最新款的chatgpto1pro分析，会根据赛题难度，选择合适的题目着重分析，没有代写论文服务，只会发布思路和代码，因为赛制要求，不会回复私信。内容可能达不到大家预期，请不要盲目订阅。已开通200美元/月的chatgptpro会员，会充分利用chatgpto
2025年美赛（F题）网络安全强健建模|数学建模竞赛解题思路|完整代码论文集合 Tina表姐 25美赛数学建模 web安全安全
我是Tina表姐，毕业于中国人民大学，对数学建模的热爱让我在这一领域深耕多年。我的建模思路已经帮助了百余位学习者和参赛者在数学建模的道路上取得了显著的进步和成就。现在，我将这份宝贵的经验和知识凝练成一份全面的解题思路与代码论文集合，专为本次赛题设计，旨在帮助您深入理解数学建模的每一个环节。本次美赛F题可以做如下考虑本次美赛（6题）完整内容均可以在文章末尾领取！（部分代码在本帖子里格式混乱，下载后格
【2025美赛D题——通往更好城市的路线图】2025年美国大学生数学建模竞赛思路、代码更新中..... 然哥爱编程数学建模
欢迎来到本博客❤️❤️博主优势：博客内容尽量做到思维缜密，逻辑清晰，为了方便读者。⛳️座右铭：行百里者，半于九十。本文目录如下：目录⛳️美赛及概况1找程序网站推荐2公式编辑器、流程图、论文排版325年美赛D题——通往更好城市的路线图4思路、Python、Matlab代码分享......⛳️美赛及概况详细内容请看文末卡片，有即将开始的美赛思路、配套Python、Matlab代码及成品论文等，美赛论文
2025美赛C题奥运奖牌榜模型（附代码+全保姆教程）Models for Olympic Medal Tables 步入烟尘数学建模 2025美赛奥运奖牌榜模型
本文为个人解题笔记，仅供参考学习。本文C题的所有问题。文章目录问题1解题全流程解题完整过程：建立预测奥运会奖牌数的数学模型1.数据分析与清理1.1数据来源与结构1.2数据清理2.探索性数据分析(EDA)2.1国家奖牌分布趋势2.2奖牌与赛事数量的关系2.3主办国优势分析3.模型建立3.1奖牌数预测模型3.2奖牌首次获得预测模型3.3奖牌分布与赛事类型关联模型4.模型实现与代码4.1数据清理与预处理
2025年美赛数学建模 MCM 问题 C：奥运奖牌榜模型 2025年数学建模美赛 2025年美赛MCM/ICM 数学建模 2025年美赛 2025年MCM C题问题 C：奥运奖牌榜模型 2025 2025数学建模美赛思路
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2025年美赛数学建模 Problem C: Models for Olympic Medal Tables 问题 C：奥运奖牌榜模型详细解析和代码（持续更新中，2025美赛） 2025年数学建模美赛 2025年美赛MCM/ICM 数学建模开发语言 2025年数学建模美赛 2025美赛 C题奥运奖牌榜模型
目录Python代码MATLAB代码2.模型框架2.1回归分析模型2.2集成学习方法2.3时间序列预测2.4模型不确定性估计3.数据处理与模型训练4.预测2028年奥运奖牌5.预测区间和不确定性6.哪些国家可能提高或下降？7.尚未获得奖牌的国家的预测8.奥运项目与奖牌数的关系2.教练与国家奖牌数的关联2.1定义“伟大教练”效应2.2数据分析方法2.3分析结果3.选择三个国家并确定应投资的运动项目3
2024年“深圳杯”数学建模挑战赛A题-多个火箭残骸的准确定位思路、代码、论文 2025年数学建模美赛数学建模 2024 A 题深圳杯思路论文
绝大多数火箭为多级火箭，下面级火箭或助推器完成既定任务后，通过级间分离装置分离后坠落。在坠落至地面过程中，残骸会产生跨音速音爆。为了快速回收火箭残骸，在残骸理论落区内布置多台震动波监测设备，以接收不同火箭残骸从空中传来的跨音速音爆，然后根据音爆抵达的时间，定位空中残骸发生音爆时的位置，再采用弹道外推实现残骸落地点的快速精准定位。问题1建立数学模型，分析如果要精准确定空中单个残骸发生音爆时的位置坐标
2024 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题生产过程中的决策问题详细思路+matlab代码+python代码+论文范例 2025年数学建模美赛 2024年数学建模国赛 2024高教社杯 2024 B题生产过程中的决策问题思路 2024数学建模国赛
持续更新中，2024年所有数学建模比赛思路代码都会发布到专栏内，只需要订阅一次。5号6号半价，会结合历年优秀论文、人工智能深度学习算法、chatgpt。会定期发布思路、代码和论文。思路和论文基本拿不到国奖，想要获得国奖的同学不要购买。适合基础差的学生，容易获得省奖！B题生产过程中的决策问题某企业生产某种畅销的电子产品，需要分别购买两种零配件（零配件1和零配件2），
多线程编程之存钱与取钱周凡杨 java thread 多线程存钱取钱
生活费问题是这样的：学生每月都需要生活费，家长一次预存一段时间的生活费，家长和学生使用统一的一个帐号，在学生每次取帐号中一部分钱，直到帐号中没钱时通知家长存钱，而家长看到帐户还有钱则不存钱，直到帐户没钱时才存钱。问题分析：首先问题中有三个实体，学生、家长、银行账户，所以设计程序时就要设计三个类。其中银行账户只有一个，学生和家长操作的是同一个银行账户，学生的行为是
java中数组与List相互转换的方法征客丶 JavaScript java jsonp
1.List转换成为数组。（这里的List是实体是ArrayList) 　　调用ArrayList的toArray方法。　　toArray 　　public T[] toArray(T[] a)返回一个按照正确的顺序包含此列表中所有元素的数组；返回数组的运行时类型就是指定数组的运行时类型。如果列表能放入指定的数组，则返回放入此列表元素的数组。否则，将根据指定数组的运行时类型和此列表的大小分
Shell 流程控制 daizj 流程控制 if else while case shell
Shell 流程控制和Java、PHP等语言不一样，sh的流程控制不可为空，如(以下为PHP流程控制写法)： <?php if(isset($_GET["q"])){ search(q);}else{// 不做任何事情} 在sh/bash里可不能这么写，如果else分支没有语句执行，就不要写这个else，就像这样 if else if if 语句语
Linux服务器新手操作之二周凡杨 Linux 简单操作
1.利用关键字搜寻Man Pages man -k keyword 其中-k 是选项，keyword是要搜寻的关键字如果现在想使用whoami命令，但是只记住了前3个字符who，就可以使用 man -k who来搜寻关键字who的man命令 [haself@HA5-DZ26 ~]$ man -k
socket聊天室之服务器搭建朱辉辉33 socket
因为我们做的是聊天室，所以会有多个客户端，每个客户端我们用一个线程去实现，通过搭建一个服务器来实现从每个客户端来读取信息和发送信息。我们先写客户端的线程。 public class ChatSocket extends Thread{ Socket socket; public ChatSocket(Socket socket){ this.sock
利用finereport建设保险公司决策分析系统的思路和方法老A不折腾 finereport 金融保险分析系统报表系统项目开发
决策分析系统呈现的是数据页面，也就是俗称的报表，报表与报表间、数据与数据间都按照一定的逻辑设定，是业务人员查看、分析数据的平台，更是辅助领导们运营决策的平台。底层数据决定上层分析，所以建设决策分析系统一般包括数据层处理（数据仓库建设）。项目背景介绍通常，保险公司信息化程度很高，基本上都有业务处理系统（像集团业务处理系统、老业务处理系统、个人代理人系统等）、数据服务系统（通过
始终要页面在ifream的最顶层林鹤霄
index.jsp中有ifream，但是session消失后要让login.jsp始终显示到ifream的最顶层。。。始终没搞定，后来反复琢磨之后，得到了解决办法，在这儿给大家分享下。。 index.jsp--->主要是加了颜色的那一句 <html> <iframe name="top" ></iframe> <ifram
MySQL binlog恢复数据 aigo mysql
1，先确保my.ini已经配置了binlog： # binlog log_bin = D:/mysql-5.6.21-winx64/log/binlog/mysql-bin.log log_bin_index = D:/mysql-5.6.21-winx64/log/binlog/mysql-bin.index log_error = D:/mysql-5.6.21-win
OCX打成CBA包并实现自动安装与自动升级 alxw4616 ocx cab
近来手上有个项目,需要使用ocx控件 (ocx是什么? http://baike.baidu.com/view/393671.htm) 在生产过程中我遇到了如下问题. 1. 如何让 ocx 自动安装? a) 如何签名? b) 如何打包? c) 如何安装到指定目录? 2.
Hashmap队列和PriorityQueue队列的应用百合不是茶 Hashmap队列 PriorityQueue队列
HashMap队列已经是学过了的,但是最近在用的时候不是很熟悉,刚刚重新看以一次, HashMap是K,v键 ,值 put()添加元素 //下面试HashMap去掉重复的 package com.hashMapandPriorityQueue; import java.util.H
JDK1.5 returnvalue实例 bijian1013 java thread java多线程 returnvalue
Callable接口：返回结果并且可能抛出异常的任务。实现者定义了一个不带任何参数的叫做 call 的方法。 Callable 接口类似于 Runnable，两者都是为那些其实例可能被另一个线程执行的类设计的。但是 Runnable 不会返回结果，并且无法抛出经过检查的异常。 ExecutorService接口方
angularjs指令中动态编译的方法(适用于有异步请求的情况) 内嵌指令无效 bijian1013 JavaScript AngularJS
在directive的link中有一个$http请求，当请求完成后根据返回的值动态做element.append('......');这个操作，能显示没问题，可问题是我动态组的HTML里面有ng-click，发现显示出来的内容根本不执行ng-click绑定的方法！
【Java范型二】Java范型详解之extend限定范型参数的类型 bit1129 extend
在第一篇中，定义范型类时，使用如下的方式： public class Generics<M, S, N> { //M,S,N是范型参数 } 这种方式定义的范型类有两个基本的问题： 1. 范型参数定义的实例字段，如private M m = null;由于M的类型在运行时才能确定，那么我们在类的方法中，无法使用m，这跟定义pri
【HBase十三】HBase知识点总结 bit1129 hbase
1. 数据从MemStore flush到磁盘的触发条件有哪些？ a.显式调用flush，比如flush 'mytable' b.MemStore中的数据容量超过flush的指定容量，hbase.hregion.memstore.flush.size,默认值是64M 2. Region的构成是怎么样？ 1个Region由若干个Store组成
服务器被DDOS攻击防御的SHELL脚本 ronin47
mkdir /root/bin vi /root/bin/dropip.sh #!/bin/bash/bin/netstat -na|grep ESTABLISHED|awk ‘{print $5}’|awk -F:‘{print $1}’|sort|uniq -c|sort -rn|head -10|grep -v -E ’192.168|127.0′|awk ‘{if($2!=null&a
java程序员生存手册-craps 游戏-一个简单的游戏 bylijinnan java
import java.util.Random; public class CrapsGame { /** * *一个简单的赌*博游戏，游戏规则如下： *玩家掷两个骰子，点数为1到6，如果第一次点数和为7或11，则玩家胜， *如果点数和为2、3或12，则玩家输， *如果和为其它点数，则记录第一次的点数和，然后继续掷骰，直至点数和等于第一次掷出的点
TOMCAT启动提示NB: JAVA_HOME should point to a JDK not a JRE解决开窍的石头 JAVA_HOME
当tomcat是解压的时候，用eclipse启动正常，点击startup.bat的时候启动报错; 报错如下： The JAVA_HOME environment variable is not defined correctly This environment variable is needed to run this program NB: JAVA_HOME shou
[操作系统内核]操作系统与互联网 comsci 操作系统
我首先申明：我这里所说的问题并不是针对哪个厂商的，仅仅是描述我对操作系统技术的一些看法操作系统是一种与硬件层关系非常密切的系统软件，按理说，这种系统软件应该是由设计CPU和硬件板卡的厂商开发的，和软件公司没有直接的关系，也就是说，操作系统应该由做硬件的厂商来设计和开发
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When you got error message like "Property null not found ***", try to fix it by the following way: 1)if you are using AdvancedDatagrid, make sure you only update the data in the data prov
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需求：需要将数据表中一个字段的值里面的所有的 . 替换成 _ 原来的数据是 site.title site.keywords .... 替换后要为 site_title site_keywords 使用的SQL语句如下： updat
mac上终端起动MySQL的方法 dcj3sjt126com mysql mac
首先去官网下载: http://www.mysql.com/downloads/ 我下载了5.6.11的dmg然后安装,安装完成之后..如果要用终端去玩SQL.那么一开始要输入很长的:/usr/local/mysql/bin/mysql 这不方便啊,好想像windows下的cmd里面一样输入mysql -uroot -p1这样...上网查了下..可以实现滴. 打开终端,输入: 1
Gson使用一（Gson） eksliang json gson
转载请出自出处：http://eksliang.iteye.com/blog/2175401 一.概述从结构上看Json，所有的数据（data）最终都可以分解成三种类型：第一种类型是标量（scalar），也就是一个单独的字符串（string）或数字（numbers），比如"ickes"这个字符串。第二种类型是序列（sequence），又叫做数组（array）
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