《算法导论》选择问题（找第K大的数）

选择问题（Selection Problem），即在n个元素的集合中寻找第K小的元素的问题。第K小的元素又叫第K个顺序统计量。有以下几种变体：
- 找最大值和最小值；同时找最大和最小值
- 找中位数（第n/2小）
- 找任意第K小的元素
- 找Top-K的元素

找最大值和最小值

要确定最大值或者最小值，在n个元素中进行n-1次比较是必须的，也是最优方法。

要同时确定最大值和最小值，如果独立寻找，各用n-1次比较，共用2n-2次比较，但这不是最优方法。

事实上，最多需要3n/2次比较就可以同时找到最大最小值：

1. 成对处理元素，两两成对比较大小，得到较大的元素和较小元素（1次比较）
2. 较大元素和当前最大值比较，较小元素和当前最小值比较（2次比较）
3. 处理n/2对元素共需要3n/2次比较

当n为奇数，把第一个元素设为最大值和最小值，剩下的两两成对，共做3n/2次比较；当n为偶数，先做一次初始比较，然后做剩下的3(n-2)/2次比较，共3n/2-2次比较。因此最多做3n/2次比较。

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选择算法（线性时间）

类似于快排的划分函数，用分治法实现最坏情况线性时间O(n)的选择算法。

选择算法Select(S, k)：
1. 将n个元素划分为n/5组，每组5个元素，最多有一个组由剩下的n mod 5个元素组成
2. 寻找ceil(n/5)个组中每一组的中位数：对每组5个元素进行插入排序，排序后选择中位数
3. 从2中找出的ceil(n/5)个中位数，递归调用Select()找出其中位数x
4. 用划分函数将输入元素按x进行划分，比x小的构成S1，比x大的构成S2
5. 如果|S1|=k-1，则返回x为所求（第k小）
6. 否则如果|S1|>k，则在S1调用Select(S1, k)；否则在S2调用Select(S2, k-|S1|-1)

用迭代法可以证明这个Select算法将时间复杂度降到限行时间O(n)

Reference

• 《算法导论（第二版）》第9章