HNOI2011 XOR和路径 高斯消元+期望
传送门
题目大意：给定一张无向连通图，每次有相等概率走一条边，求1号点到n号点异或和的期望值。
这道题和NOI2005聪聪与可可很像，只不过…聪聪与可可那题猫一定会抓住老鼠，而这题有环，那么就不能用记忆化搜索了，因为每个点的状态都可以互相更新。
但这些不断更新的状态最终的答案都会趋近于某一个值，而求得这个值的方法也就是高斯消元。通过解方程的思想，来得到那个值。
题目求的是异或，而异或运算中各个二进制位的答案是互不影响的，于是我们可以统计每一位是1的期望，累加即为答案。
对于枚举的这一位，设 d p [ u ] dp[u] dp[u]表示u->n该位异或和为1的期望。
先列出状态转移方程：
d p [ u ] = 1 d u [ u ] ( ∑ l e n ( u , v ) = 1 d p [ v ] + ∑ l e n ( u , v ) = 0 ( 1 − d p [ v ] ) ) dp[u]=\frac{1}{du[u]}(\sum_{len(u,v)=1}{dp[v]}+\sum_{len(u,v)=0}{(1-dp[v])}) dp[u]=du[u]1(len(u,v)=1∑dp[v]+len(u,v)=0∑(1−dp[v]))
两边同时乘上 1 d u [ u ] \frac{1}{du[u]} du[u]1，得
d u [ u ] ∗ d p [ u ] = ∑ l e n ( u , v ) = 1 d p [ v ] + ∑ l e n ( u , v ) = 0 ( 1 − d p [ v ] ) du[u]*dp[u]=\sum_{len(u,v)=1}{dp[v]}+\sum_{len(u,v)=0}{(1-dp[v])} du[u]∗dp[u]=len(u,v)=1∑dp[v]+len(u,v)=0∑(1−dp[v])
转化得
d u [ u ] ∗ d p [ u ] = ∑ l e n ( u , v ) = 1 d p [ v ] + ∑ l e n ( u , v ) = 0 1 − ∑ l e n ( u , v ) = 0 d p [ v ] du[u]*dp[u]=\sum_{len(u,v)=1}{dp[v]}+\sum_{len(u,v)=0}{1}-\sum_{len(u,v)=0}{dp[v]} du[u]∗dp[u]=len(u,v)=1∑dp[v]+len(u,v)=0∑1−len(u,v)=0∑dp[v]
则有
d u [ u ] ∗ d p [ u ] + ∑ l e n ( u , v ) = 0 d p [ v ] − ∑ l e n ( u , v ) = 1 d p [ v ] = ∑ l e n ( u , v ) = 0 1 du[u]*dp[u]+\sum_{len(u,v)=0}{dp[v]}-\sum_{len(u,v)=1}{dp[v]}=\sum_{len(u,v)=0}{1} du[u]∗dp[u]+len(u,v)=0∑dp[v]−len(u,v)=1∑dp[v]=len(u,v)=0∑1
突然舒服.jpg
然后就套高斯消元模板了
坑：自环只建一条边！！！
#include