逆元的求法总结

原文链接： https://blog.csdn.net/xiaoming_p/article/details/79644386

逆元

逆元(Inverse element)就是在mod意义下，不能直接除以一个数，而要乘以它的逆元。
比如$a\ast b\equiv 1(modp)$，$a,b$互为模$p$意义下的逆元，就是当你想要求$x/a$就可以改为求$x\ast b\%p$
观察$a\ast b\equiv 1(modp)$，可以变形为$a\ast b+k\ast p=1$，就可以用扩展欧几里得算法求$a$了，同时这里也说明了$a$和$p$只有在互素的情况下才存在逆元。

注意

在计算$a/b$时，算出$b$关于$mod$的逆元后，最好再对$a$求一下$a\%mod$后再相乘$a\ast inv(b)\%mod$，防止爆$longlong$。

扩展欧几里得求逆元模板

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
ll a, mod = 1000000007, t;
ll ppow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b > 0) {
        if(b & 1)
            ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll t = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return t;
}
int main() {
    scanf("%lld", &t);
    while(t--) {
        scanf("%lld", &a);
        ll an, y;
        ll ni = ppow(2, a - 1);//求a关于mod的逆元
        ll gcd = exgcd(ni, mod, an, y);
        an = (an % mod + mod) % mod;//an就是求出来的逆元
        printf("%lld\n", (an * (a % mod)) % mod);//a%mod防止爆ll
    }
    return 0;
}

性能分析:

• 时间复杂度:O(logn)（实际是斐波那契数列）
• 适用范围：只要存在逆元即可求，适用于个数不多但是mod很大的时候，也是最常见的一种求逆元的方法。

费马小定理/欧拉定理求逆元模板

费马小定理：若$p$为素数，则有$a^{p-1}\equiv 1(modp)$
$a^{p-2}\ast a\equiv 1(modp)$
则$a^{p-2}$就是$a$在模$p$意义下的逆元了。
欧拉定理：若a、p互素，则有$a^{\phi (p)}\equiv 1(modp)$(费马小定理的一般形式)
$a^{\phi (p)}\ast a\equiv 1(modp)$
则$a^{\phi (p)-1}$就是$a$在模$p$意义下的逆元了。

ll qkpow(ll a, ll p, ll mod) {
    ll t = 1, tt = a % mod;
    while(p) {
        if(p & 1)
            t = t * tt % mod;
        tt = tt * tt % mod;
        p >>= 1;
    }
    return t;
}
ll getInv(ll a, ll mod) {
    return qkpow(a, mod - 2, mod);
}

性能分析：

• $O(lo{g}^{mod})$
• 适用范围：一般在mod是个素数的时候用，比扩欧快一点而且好写。
• 但是如果是合数，相信一般没人无聊到去算个欧拉函数。

递推求逆元

ll inv[mod + 5];
void getInv(ll mod) {
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < mod; i++)
        inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
}

注意：

• 调用前要先预处理
• 调用的时候要先对除数取$mod$

性能分析：

• 时间复杂度$O(n)$
• 适用范围：$mod$数是不大的素数而且多次调用，比如卢卡斯定理。