对称矩阵的压缩存储

对称矩阵，相信大家都有所了解，即元素为以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。故而会有许多相等的元素。
这种矩阵如果很大，存储时必然会浪费很多空间，本文讲解对称矩阵的压缩存储。
以如下4*4对称矩阵为例：

本文考虑只存储对称矩阵的下三角元素（上三角同样可行），即下图灰色部分

那么很显然，我们可以将这样一个对称矩阵压缩存储到一个一元数组中，从而节省较多的空间，接下来我们分析一下如何存储。
分析：第一行有一个元素，第二行有两个元素……第i行有i个元素……
若对称矩阵是n*n的，则我们需要一个长度为1+2+…+n的数组来依次存储每行元素，由如下的等差数列前n项和公式：

计算n*n的数组压缩存储时所需空间，求得：

以以上矩阵为例，我们需要一个长度为10的数组b来存储原数组a的所有下三角元素，接下来我们分析如何根据下标i，j获取到我们需要的那个数字。如根据2，1获取到下图中红框框住的元素2：

分析：首先，由于我们只存储了下三角元素，故而在接收到ij时需进行判断，若i≤j即为上三角的值，需swap(i,j)使得i≥j（因为矩阵是对称的）；
保证ij为下三角的下标后，观察数组a。
第一行的元素1将存在数组b的第一个位置上，
第二行的两个元素3、-6将存在数组b的第二、三个位置上
……
第i行的i个元素将存在数组b的第1+2+…+(i-1)+1个位置上，
即前i-1行元素的个数（第x行有x个元素）+1，存储形式如下图所示：

那么现在我们用C++的模板实现对称矩阵的压缩存储。
成员变量应有T类型的指针_a，原数组（n*n）大小_n；
成员函数除去构造、析构函数，为了防止浅拷贝，应写出拷贝构造、赋值运算符重载、打印数组函数以及获取ij下标对应元素的函数。
代码如下：

template<class T>
class SymmetricMatrix
{
public:
    SymmetricMatrix()
        : _a(NULL), _n(0)
    {}
    SymmetricMatrix(T* a, size_t n)
        : _a(new T[(n*(n + 1)) >> 1])//此处用前n项和公式求矩阵压缩后所需空间大小
        , _n(0)
    {
        for (size_t i = 0; i < n; ++i)
        {
            for (size_t j = 0; j <= i; ++j)
                _a[_n++] = a[i*n + j];
        }
        _n = n;
    }
    SymmetricMatrix(const SymmetricMatrix& matrix)
        :_a(new T[(matrix._n * (matrix._n + 1)) >> 1])
        , _n(matrix._n)
    {
        for (size_t i = 0; i < ((_n*(_n + 1)) >> 1); ++i)
            _a[i] = matrix._a[i];
    }
    SymmetricMatrix& operator=(SymmetricMatrix matrix)
    {
        swap(_a, matrix._a);
        swap(_n, matrix._n);
        return *this;
    }
    ~SymmetricMatrix()
    {
        delete[] _a;
        _a = NULL;
    }
public:
    void Print()
    {
        for (size_t i = 0; i < _n; ++i)
        {
            for (size_t j = 0; j < _n; ++j)
            {
                if (i >= j)// 此时ij标志下三角元素
                    cout << Get(i, j) << "  ";
                else       // 此时ij标志上三角元素，需交换获取值
                    cout << Get(j, i) << "  ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
    T& Get(size_t i, size_t j)
    {
        return _a[(i*(i + 1) >> 1) + j];
    }
protected:
    T* _a;
    size_t _n;
};

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