Bron–Kerbosch算法-最大独立集与最大团

Bron-Kerbosch 算法计算图的最大全连通分量(团clique) 

最大独立集： 顶点集V中取 K个顶点，其两两间无连接。

最大团：　顶点集V中取 K个顶点，其两两间有边连接。

最大团中顶点数量 = 补图的最大独立集中顶点数量　　

就可以通过求其补图中最大团中顶点数量,就可得出原图中最大独立集中顶点数量了.

对于求解 最大团中顶点数量 的搜索过程中用到的剪枝,如下

1. 剪枝1：常用的指定顺序, 即枚举第i个顶后, 以后再枚举时枝考虑下标比大它的, 避免重复。
2. 剪枝2：自己开始从前往后的枚举顶点, TLE两次. 后来从后往前枚举顶点，发现可以利用顶点之间的承袭性.我用num[i] 记录的可选顶点集合为 V[i, i+1, ... , n] 中的最大团数目， 目标是求num[1].
     分析易知, num[i] = num[i+1] 或者 num[i]+1   (num[1...n] 具有非降的单调性,从后往前求)
     由这个式子以及num[]信息的记录，使得我们可以增加两处剪枝:
3.上/下剪枝：假设当前枚举的是顶点x, 它的第一个邻接顶是i (标号一定比x大，即num[i]已经求出) 我们可以知道， 若 1 + num[i] <= best, 那么是没没要往下枚举这个顶点x了，因为包含它的团是不可能超过我们目前的最优值的。
4. 立即返回剪枝: 由于num[i]最大可能为num[i+1]+1, 所以在枚举顶点i时，只要一更新best，可知此时的num[i]就为num[i+1]+1了，不需要再去尝试找其他的方案了，所以应立即返回.

#include
#include
#include

int best;
int num[maxn];
// int x[maxn];
int path[maxn]; 
int g[maxn][maxn], n;

bool dfs( int *adj, int total, int cnt ){ // total: 与u相连的顶点数量  , cnt表示当前团的数量 
    int i, j, k;
    int t[maxn];
    if( total == 0 ){ // 当此团中最后一个点 没有 比起序号大 的顶点相连时  
        if( best < cnt ){  // 问题1：best为最大团中顶点的数量 
            // for( i = 0; i < cnt; i++) path[i] = x[i];
            best = cnt; return true; 
        }    
        return false;
    }    
    for( i = 0; i < totl; i++){ // 枚举每一个与 u 相连的顶点 adj[i] 
        if( cnt+(total-i) <= best ) return false; // 剪枝1， 若当前 顶点数量cnt 加上还能够增加的最大数量 仍小于 best则 退出并返回false 
        if( cnt+num[adj[i]] <= best ) return false; // 剪枝2， 若当前 顶点数量cnt 加上 包含adj[i]的最大团顶点数 仍小于 best则 退出并返回false 
        // x[cnt] = adj[i];
        for( k = 0, j = i+1, j < total; j++ ) // 扫描 与u相连的顶点  中与 adj[u]相连的顶点 并存储到 数组 t[]中，数量为k 
            if( g[ adj[i] ][ adj[j] ] )
                t[ k++ ] = adj[j];
                if( dfs( t, k, cnt+1 ) ) return true;
    } return false;
} 
int MaximumClique(){
    int i, j, k;
    int adj[maxn];
    if( n <= 0 ) return 0;
    best = 0;
    for( i = n-1; i >= 0; i-- ){
        // x[0] = i; 
        for( k = 0, j = i+1, j < n; j++ )    // 遍历 [i+1, n] 间顶点，  
            if( g[i][j] ) adj[k++] = j;
        dfs( adj, k, 1 ); // *adj, total, cnt
        num[i] = best;   // 得出顶点 i, 出发构成最大团 中顶点数量 
    }    
    return best;
}

关于 Bron-Kerbosch算法

　　基础形式是一个递归回溯的搜索算法.通过给定三个集合 (R,P,X).

　　初始化集合R,X分别为空,而集合P为所有顶点的集合.

　　而每次从集合P中取顶点{v}, 当集合中没有顶点时,两种情况.

　　　　1.  集合 R 是最大团, 此时集合X为空.

　　　　2.  无最大团,此时回溯.

　　对于每一个从集合P中取得得顶点{v},有如下处理:

　　　　1. 将顶点{v}加到集合R中, 集合P,X 与 顶点{v}得邻接顶点集合 N{v}相交, 之后递归集合 R,P,X

　　　　2. 从集合P中删除顶点{v},并将顶点{v}添加到集合X中.

　　　　若 集合 P,X都为空, 则集合R即为最大团.

　　　　总的来看就是每次从 集合P中取v后,再在 P∩N{v} 集合中取,一直取相邻,保证集合R中任意顶点间都两两相邻...

#include
#include
#define N 1010
bool flag[N], a[N][N];
int ans, cnt[N], group[N], n, vis[N];
// 最大团： V中取K个顶点，两点间相互连接
// 最大独立集： V中取K个顶点，两点间不连接 
// 最大团数量 = 补图中最大独立集数
 
bool dfs( int u, int pos ){
    int i, j;
    for( i = u+1; i <= n; i++){
        if( cnt[i]+pos <= ans ) return 0;
        if( a[u][i] ){
             // 与目前团中元素比较，取 Non-N(i) 
            for( j = 0; j < pos; j++ ) if( !a[i][ vis[j] ] ) break; 
            if( j == pos ){     // 若为空，则皆与 i 相邻，则此时将i加入到 最大团中 
                vis[pos] = i;
                if( dfs( i, pos+1 ) ) return 1;    
            }    
        }
    }    
    if( pos > ans ){
            for( i = 0; i < pos; i++ )
                group[i] = vis[i]; // 最大团 元素 
            ans = pos;
            return 1;    
    }    
    return 0;
} 
void maxclique()
{
    ans=-1;
    for(int i=n;i>0;i--)
    {
        vis[0]=i;
        dfs(i,1);
        cnt[i]=ans;
    }
}