ACM博弈论总结

一、Bash博弈

1、问题模型:只有一堆n个物品,两人轮流从这堆物品中取物,最多取m个,最后取光者胜。

2、解决思路:当n=m+1时,由于一次最多取m个,无论先取者拿走多少个,后取者都能一次拿走剩余的物品,后者取胜,所以当一方面对n%(m+1)==0的时候,其面临的是必败局势。所以当n==(n+1)*r+s(r为任意自然数,s<=m)时,如果先取者要拿走s个物品,后取者拿走x(x<=m)个物品,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保留给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。

3、变形:条件不变,改为最后取光的人输。

解决方法:当(n-1)%(m+1)==0时,后手胜利。

例题:Bash的游戏

 

#define _MAX 10000
int a[_MAX];
int b[_MAX];

int bash(int N, int K)
{
    if (N % (K + 1) == 0) 
    {
        return 2;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int i = 0; i < T; i++)
    {
        scanf("%d%d", a + i, b + i);
    }
    for (int i = 0; i < T; i++)
    {
        if (bash(a[i], b[i]) == 1)
        {
            printf("A\n");
        }
        else
        {
            printf("B\n");
        }
    }
    return 0; 
}

 

 

 

 

 

二、威佐夫博弈

1、问题模型:有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆取出同样多的物品,规定每次取出一个,多者不限,最后取光者得胜。

 

2、解决思路:A:设(ai,bi)(ai<=bi,i=0,1,2,3.....,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲输了,这种局势我们称为其一局势。

奇异局势的前几项是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)

任给一个局势(a,b),如下公式判断它是不是奇异局势:

ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k  (k=0,1,2,…,n 方括号表示取整函数)。(证明见百度百科)也就是黄金分割点。

 

3、满足上述公式的局势性质:

(1)任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

(2)任何操作都可以把奇异局势变为非奇异局势。

若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。

(3)采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。

  假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b  – bk个物体,即变      为奇异局势;如果 a = ak ,  b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab – ak个物体,变为奇异局势( ab – ak , ab – ak+ b – ak);如果a > ak ,            b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b – bj 即可; 第      二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b – aj 即可。

 

4、结论

两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,后拿者必胜。

例题:威佐夫博弈

int main()
{
    int t, a, b, m, k;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        if (a > b)
        {
            a ^= b;
            b ^= a;
            a ^= b;
        }
        m = b - a;
        k = (int)(m * (1 + sqrt(5)) / 2.0);
        //m = ? * a
        //k = m / ?
        //?:黄金分割数
        //如果a == k,则为后手赢,否则先手赢(奇异局)
        printf("%s\n", a == k ? "B" : "A");
    }
    return 0;
}


威佐夫博弈 V2(大数)

 

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
LL tmp[3] = {618033988,749894848,204586834};
LL MOD = 1000000000;
int main()
{
    int T;
    LL m, n;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>m>>n;
        if(m < n)
            swap(n, m);
        LL cha = m - n;
        LL ta = cha/MOD, tb = cha%MOD;
        LL tp = tb*tmp[2];
        tp = ta*tmp[2] + tb*tmp[1] + tp/MOD;
        tp = ta*tmp[1] + tb*tmp[0] + tp/MOD;
        tp = cha + ta*tmp[0] + tp/MOD;
        if(tp == n)
            puts("B");
        else
            puts("A");
    }
    return 0;
}

 

 

 

 

 

三、Nim博弈

1、问题模型:有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取人一多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

2、解决思路:

用(a,b,c)表示某种局势,显然(0,0,0)是第一种局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。

第二种是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。

搞定这个问题必须把必败态炸出:(a,b,c)是必败态等价于a^b^c==0(^表示异或运算)

 

3、推广:

如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),那么如何变成奇异局势呢?

假设a

 

例题:Nim的游戏

 

 

int main(int argc, const char * argv[])
{
    int N, stone, tag = 0;
    scanf("%d", &N);
    while (N--)
    {
        scanf("%d", &stone);
        tag ^= stone;
    }
    //tag为0则为后手赢,否则为先手赢
    printf("%c\n", tag == 0 ? 'B' : 'A');
    return 0;
}

 

添加SG函数

 

 

 

 

 

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