求解离散对数——BSGS算法の板子

BSGS这玩意儿好像用的不是很多？好像除了POJ和HDU有两道题，然后就是SDOI的两个题了。。然后关于这玩意儿正确性的很多证明ATP都不是很懂。。这里只是解释一下它的实现过程。。

BSGS

BSGS算法（Baby Step Gaint Step）是用于求解离散对数（即 AL≡B(mod C) 中的最小的 L ）的一种算法。它的实质是一种优化的枚举算法，但是它通过数学分析缩小了枚举的范围，一般在 O(n√) 或 O(n√logn) （如果使用STL的map作为哈希表）的时间复杂度内就能出解。

普通的BSGS算法要求 A,C 互质。这里先贴板子再解释。。。（其中powww(a,t,Mod)是计算快速幂 at % Mod 的过程）

void BSGS(LL A,LL B,LL C){
    LL m=ceil(sqrt(C)),k=B%C,am,x;
    bool end=false;
    if (B%C==0){
        printf("No Solution\n");
        return;
    }
    hash.clear();
    hash[k]=0;
    am=powww(A,m,C);
    for (int j=1;j<=m;j++){
        k=k*A%C;hash[k]=j;
    }
    x=1;
    for (int i=1;i<=m;i++){
        x=x*am%C;
        if (hash[x]!=0){
            printf("%I64d\n",((i*m-hash[x]+cnt)%C+C)%C);
            end=true;
            return;
        }
    }
    if (end==false)
      printf("No Solution\n");
}

对于要求的式子 AL≡B(mod C) ，首先我们设定一个值 M ，并且设 L=i∗M−j 。那么原来的式子就能表示成 Ai∗M−j≡B 。显然我们可以把 Aj 移到等式的右侧变成 Ai∗M≡B∗Aj 。那么观察有多少个“本质不同”的 j ，这里的两个“本质不同”指的是它不能通过移项变成另外一个具有 Ai∗M≡B∗Aj 形式的式子。

比如说， j=1 和 j=M+1 这两个就是本质相同的，因为如果取 j=M+1 的话，式子就会变成 Ai∗M≡B∗AM+1 ，把 AM 移到左边去就变成了 A(i−1)∗M≡B∗A1 ，也就是说它和 j=1 是等价的。

那么我们可以发现，本质不同的 j 只能是 0..M−1 这些取值，一共有 M 个。那么对应的 i 也一共只有 M 种情况。如果我们能够把 i,j 都求出来那么这个问题也就解决了。我们可以把这 M 种情况所算出来的 B∗Aj 都用哈希表映射到 j 上。

接下来我们就要寻找能够让式子有解的 i 了。这里有一点就是要尽量保证 i 最小，因为 i 为答案贡献的值是 i∗M ，如果能够保证 i 比较小，就算 j 比较大也没有关系，因为 j 不会超过 M 。那么就从1到 CM （C是模数）枚举 i ，算出 Ai∗M 以后在哈希表里查，如果能查到合法的 j ，那么 i∗M−j 就是要求的最小解。如果枚举完了所有的i都没有找到合法的j，就说明这个式子无解。

一般地，我们令 M=⌈C−−√⌉ 。（这玩意儿好像有个证明？然而愚蠢的ATP并不会。。）

这里还有一个问题：话说回来上面提到过本质不同的 j 只能是 0..M−1 ，那我上面枚举的时候明明枚举到 M 了啊。。这里实际上是STL的map的锅，因为map里面没有东西的元素都是0，那如果我又把某个元素赋值成0的话就没法区分它到底是有没有东西。。也就是说如果当前最小的 i 对应的 j 恰好等于0，它就会认为map里面没有东西然后给判过去，这是不应该的。。而解决办法就是增加一个 j=M ，这样的话就能正确判断出答案恰好是 M 的倍数的情况。

网上还有一种写法是设 L=i∗M+j ，正确性也是一样的，但是操作的时候需要用到逆元。

板子题：POJ2417（BZOJ3239）/BZOJ2242/BZOJ3122

扩展算法

上面说过，BSGS算法要求 A,C 互质，那么如果 A,C 不互质怎么办呢？那么就要用到BSGS的扩展算法了。扩展算法的原理就是通过提取公因数使得 A,C 互质，然后再用普通的BSGS求解。

继续贴板子：

void ex_BSGS(LL A,LL B,LL C){
    int t=ceil(log2(C));
    flag=false;
    for (int i=0;i<=t;i++)
      if (powww(A,i,C)==B){
         printf("%d\n",i);
         flag=true;
         break;
      }
    if (flag) continue;
    cnt=0;P=1;
    d=gcd(A,C);
    while (d!=1){
        ++cnt;
        if (B%d!=0){
            printf("No Solution\n");
            flag=true;break;
        }
        B/=d;C/=d;P*=d;
        d=gcd(A,C);
    }
    if (flag) continue;
    exgcd(inv,y,P,C);
    inv=((inv%C)+C)%C;
    inv1=powww(A,cnt,C)*inv%C;
    exgcd(inv,y,inv1,C);
    inv=((inv%C)+C)%C;
    B=B*inv%C;ans=0;
    BSGS(A,B,C);
}

首先要想使 A,C 互质，我们就要提取A和C的最大公约数。假设这个公约数是d，提取完了以后就变成了 AdAL−1≡Bd(mod Cd) 。如果 B 不能整除 d ，说明这个式子是无解的；那么现在新的 C′ 变成了 Cd ，如果 A 和 C′ 互质，就能直接用BSGS求解了，否则继续上面的过程，不断提取最大公因数。假设提取了 t 个最大公因数，它们的乘积为 tmp ，那么最后的式子就变成了 AttmpAL−t≡Btmp(mod Ctmp) 。这个时候 A 和 Ctmp 是互质的，用逆元把 tmp 移到等式右边就可以用BSGS求解了。

上面一堆都是ATP口胡的。。。zyf2000那里有更加严谨和详细的证明。。
板子题：BZOJ1467/HDU2815