数论和有限域的基本概念

数论和有限域的基本概念

整除性

• b | a       ->       b 整除 a, b 是 a 的因子

欧几里得算法

• 最大公因子
  
  • gcd(0, 0) = 0
  • gcd(a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a, b) = gcd(|a|, |b|)
  • gac(a, 0) = |a|
• 互素情况
  gcd(a, b) = 1, 则 a 和 b 互素

• 求最大公因子
  求a、b的最大公因子d：
  由于两个正整数的最大公约数一定可以由这两个正整数组合出来，因此我们设两个整数s、t,有：
  gcd(a, b) = d = sa + tb
  取a = 123， b = 456，有：
  **456 = 3 x 123 + 87       ->(1)
  123 = 1 x 87 + 36       ->(2)
  87 = 2 x 36 + 15       ->(3)
  36 = 2 x 15 + 6       ->(4)
  15 = 2 x 6 + 3       ->(5)
  6 = 2 x 3 + 0       ->(6)**
  由上面的一系列计算有： gcd(123, 456) = 3
  那么如何证明3是123和456的最大公因子呢？
  假设n是最大公因子，则其整除123， 456
  由等式(1)可知: n整除87
  同理可得n整除36、15、6、3
  故3是最大公因子
  如何求取s、t的取值？
  求上面过程的逆过程：
  3 = 15 - 2 x 6
  3 = 15 - 2(36 - 2 x 15) = 5 x 15 - 2 x 36
  3 = 5(87 - 2 x 36) - 2 x 36 = 5 x 87 - 12 x 36
  3 = 5 x 87 - 12(123 - 87) = -12 x 123 + 17 x 87
  3 = -12 x 123 + 17(456 - 3 x 123) = -63 x 123 + 17 x 456
  即求得： s = -63, t = 17
  gcd(123, 456) = 3 = -63 x 123 + 17 x 456

  注意：当d为1时，我们知道a,b互素，即有:
  sa + tb = 1
  对等式两边模b,有：
  as = 1 mod b

• 修改的欧几里得算法
  
  • gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

扩展的欧几里得算法

• gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

模运算

• 剩余类集/模n的剩余类 Zn:
  比n小的非负整数集合，Zn = {0, 1, 2,,, (n-1)}
• 几种数据表现形式：
  
  • 6Z = {…, -12, -6, 0, 6, 12, …}
  • Z6={0,1,2,3,4,5}
    
• 模运算
  
• 同余性质
  
  • 如果n|(a-b)，那么a==b(mod n)
  • a==b(mod n)隐含 b==a(mod n)
  • a==b(mod n), b==c(mod n)隐含a==c(mod n)
  • example:
    求11^7 mod 13：
    11^2 = 121 == 4 (mod 13)
    11^4 = (11^2)^2 == 4^2 == 3 (mod 13)
    11^7 == 11 x 4 x 3 == 132 ==2 (mod 13)

乘法逆元

• 定义：
  
  当x与n互素时，x关于模n的乘法逆元有解。如果不互素，则无解。如果n为素数，则从1到n-1的任意数都与n互素，即在1到n-1之间都恰好有一个关于模y的乘法逆元。
  例如，求5关于模14的乘法逆元:
  14=5x2+4
  5=4x1+1
  很明显5与14互素，则存在5关于14的乘法逆元。
  根据辗转相除法有：
  1=5-4=5-(14-5*2)=5*3-14
  因此，5关于模14的乘法逆元为3。

模幂运算

异或运算

群、环、域

有限域GF(p)

有限域的阶（元素的个数）必须是一个素数的幂p^n，阶为p^n的有限域记为GF(p^n)
给定一个素数p。元素个数为p的有限域GF(p)被定义为整数{0, 1, …, p-1}的集合Zp,其运算为模p的算术运算
Zp中的所有非零整数都有乘法逆元

• 在GF(p)中求乘法逆元：
  对于任意的n,求取Zn内的乘法逆元，由扩展欧几里得算法有：
  nx + by = d = gcd(n, b)= 1
  通过辗转相除法求得y,则有y = b的乘法逆元

基本公式

其中p1, p2, pk均为素数
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