矩阵的最小路径和 动态规划（一）

暴力递归改动态规划

例：给你一个二维数组，二维数组中的每个数都是正数，要求从左上角走到右下角，每一步只能向右或者向下。沿途经过的数字要累加起来。返回最小的路径和。

测试数组：

int[][] m = { { 3, 1, 0, 2 }, { 4, 3, 2, 1 }, { 5, 2, 1, 0 } };

    1.写出尝试（递归）版本

	private static int minpath1(int[][] matrix, int i, int j) {
		if (i == matrix.length - 1 && j == matrix[0].length - 1) {
			return matrix[i][j];
		}
		if (i == matrix.length - 1) {
			return matrix[i][j] + minpath1(matrix, i, j + 1);
		}
		if (j == matrix[0].length - 1) {
			return matrix[i][j] + minpath1(matrix, i + 1, j);
		}
		int right = minpath1(matrix, i, j + 1);// right:右边位置到右下角的最小路径和
		int down = minpath1(matrix, i + 1, j);// down:下边位置到右下角的最小路径和
		return matrix[i][j] + Math.min(right, down);
	}

2.分析可变参数，哪几个可变参数的值能代表返回状态，几个可变参数，就构造几维表。

    在本题中，数组是不可变的，最小路径和只与i,j位置有关，i,j确定了，最小路径和就确定了，所以本题是一个无后效性问题（给定一个点，不管路径如何，最小路径和都固定    什么是有后效性问题？n后问题，汉诺塔问题。汉诺塔问题要求打印所有步骤的解，所以之前做过的选择必然影响后续的解），一定能改为动态规划问题。

3.回到尝试版本，看base case，找到不被依赖的位置。

base case:

if (i == matrix.length - 1 && j == matrix[0].length - 1) {
			return matrix[i][j];
		}
		if (i == matrix.length - 1) {
			return matrix[i][j] + minpath1(matrix, i, j + 1);
		}
		if (j == matrix[0].length - 1) {
			return matrix[i][j] + minpath1(matrix, i + 1, j);
		}

    当i,j的位置到达最后一行或最后一列时，最小路径和是确定的。所以这张表可以填成这样：

    

			3
			1
8	3	1	0

4.分析一个普遍位置是怎么依赖的，反过来就是计算数序。

int right = minpath1(matrix, i, j + 1);// right:右边位置到右下角的最小路径和
		int down = minpath1(matrix, i + 1, j);// down:下边位置到右下角的最小路径和
		return matrix[i][j] + Math.min(right, down);

要知道一个普遍位置到右下角的最小路径和，就得知道它右边和下边到右下角的最小路径和。所以这张表就可以填完了：

7	4	3	3
10	6	3	1
8	3	1	0

动态规划的代码为：

private static int minpath2(int[][] matrix, int x, int y) {
		int row = matrix.length;
		int col = matrix[0].length;
		int[][] dp = new int[row][col];
		dp[row - 1][col - 1] = matrix[row - 1][col - 1];
		for (int i = col - 2; i >= 0; i--) {
			dp[row - 1][i] = matrix[row - 1][i] + dp[row - 1][i + 1];
		}
		for (int j = row - 2; j >= 0; j--) {
			dp[j][col - 1] = matrix[j][col - 1] + dp[j + 1][col - 1];
		}
		for (int i = row - 2; i >= 0; i--) {
			for (int j = col - 2; j >= 0; j--) {
				dp[i][j] = matrix[i][j] + Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]);
			}
		}
		// for (int i = 0; i < row; i++) {
		// for (int j = 0; j < col; j++) {
		// System.out.print(dp[i][j] + "\t");
		// }
		// System.out.println("");
		// }
		return dp[x][y];
	}