相机标定（一）: 世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系和像素坐标系间的关系

最近在做双目测距，需要用到相机标定、矫正等，但首先需要熟悉相机模型；相机模型为以后算法的关键，只有将相机模型理解透彻，才能对以后的标定算法有更好的理解。参考了好多相关的博客，终于有点思路，顺手写下来作为笔记；
首先要理解相机模型中的四个平面坐标系之间的关系：像素平面坐标系（u,v）、图像坐标系（x,y）、相机坐标系（Xc,Yc,Zc）和世界坐标系（Xw,Yw,Zw）;

1.图像坐标系到像素坐标系

• 像素坐标系和图像坐标系都在成像平面上，只是各自的原点和度量单位不一样；
  

(图片来自百度）

• 由于(u,v)只代表像素的列数与行数，而像素在图像中的位置并没有用物理单位表示出来，所以，我们还要建立以物理单位（如毫米）表示的图像坐标系x-y。将相机光轴与图像平面的交点（一般位于图像平面的中心处，也称为图像的主点（principal point）定义为该坐标系的原点O1，且x轴与u轴平行，y轴与v轴平行，假设(u0,v0)代表O1在u-v坐标系下的坐标，dx与dy分别表示每个像素在横轴x和纵轴y上的物理尺寸，则图像中的每个像素在u-v坐标系中的坐标和在x-y坐标系中的坐标之间都存在如下的关系：
  
  也可以用矩阵的形式描述图像坐标系到像素坐标系的转换：

2.相机坐标系到图像坐标系

(图片来自百度）

相机成像的几何关系可由图表示。其中O点为摄像机光心（投影中心），Xc轴和Yc轴与成像平面坐标系的x轴和y轴平行，Zc轴为摄像机的光轴，和图像平面垂直。光轴与图像平面的交点为图像的主点O1,由点O与Xc,Yc,Zc轴组成的直角坐标系称为相机坐标系。OO1为相机焦距。

下图是本人笔记的扫描版

点P(Xc,Yc,Zc)由通过投影中心的光线投影到图像平面上,相应的图像点为p(x,y,f);根据相似三角形原理:

用线性代数矩阵描述为:

3.世界坐标系到相机坐标系

世界坐标系是为了描述相机的位置而被引入,上图中坐标系OwXwYwZw即为世界坐标系. 平移向量t旋转矩阵R可以用来表示相机坐标系与世界坐标系的关系.所以，假设空间点P在世界坐标系下的齐次坐标是(Xw,Yw,Zw,1)^T,在相机坐标下的齐次坐标是(Xc,Yc,Zc,1)^T,则存在如下关系:

其中 R为3x3旋转矩阵,t为3x1平移矢量;

4.世界坐标系到像素坐标系

综合前三点,世界坐标系到像素平面坐标系可由前面的公式组合而成:

其中M1称为相机的内部参数矩阵,2称为相机的外部参数矩阵,M称为投影矩阵.