考研数学之高等数学知识点整理——15.曲线积分与曲面积分

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十五、曲线积分与曲面积分

1 曲线积分

1.1 对弧长的曲线积分

1.1.1 定义

$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i$$
其中$\lambda =\underset{1⩽i⩽n}{\max }\{\Delta s_i\}$。

1.1.2 性质

1. ${\int }_L[k_1{f}_1(x,y)\pm k_2{f}_2(x,y)]\mathrm{d}s=k_1{\int }_L{f}_1(x,y)\mathrm{d}s\pm k_2{\int }_L{f}_2(x,y)\mathrm{d}s$，(k₁,k₂为常数)
   
2. ${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s+{\int }_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s$，(L=L₁+L₂)
   
3. 设在L上$f(x,y)⩽g(x,y)$，则${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s⩽{\int }_{L}g(x,y)\mathrm{d}s$
   特别地，有$|{\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s|⩽{\int }_L|f(x,y)|\mathrm{d}s$
   

1.2 对坐标的曲线积分

1.2.1 定义

函数P(x,y)在有向曲线弧L上对x的曲线积分
$${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$$
同样地，对y的曲线积分为
$${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$$
一般地，
$${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$$

1.2.2 性质

1. 设k₁,k₂为常数，则
   ${\int }_L(k_1{P}_1\pm k_2{P}_2)\mathrm{d}x=k_1{\int }_L{P}_1\mathrm{d}x\pm k_2{\int }_L{P}_2\mathrm{d}x$
   ${\int }_L(k_1{Q}_1\pm k_2{Q}_2)\mathrm{d}y=k_1{\int }_L{Q}_1\mathrm{d}y\pm k_2{\int }_L{Q}_2\mathrm{d}y$
   

2. 若L=L₁+L₂，则
   ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+{\int }_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$
   

3. 设L是有向弧段，-L是与L方向相反的有向弧段，则有
   ${\int }_{-L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=-{\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$
   

1.3 两类曲线积分的关系

1. 对弧长的曲线积分与路径L的方向无关，而对坐标的曲线积分与路径的方向有关，即
   ${\int }_{AB}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{BA}f(x,y)\mathrm{d}s$
   ${\int }_{AB}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=-{\int }_{BA}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$
   

2. 设L是平面xOy内的一条有向光滑曲线弧，则
   ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\mathrm{d}s$
   其中cosα,cosβ为有向曲线L上点(x,y)处切线向量的方向余弦
   注： 对空间曲线Γ，有
   ${\int }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\int }_{\Gamma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}s$
   其中cosα，cosβ，cosγ为有向曲线Γ上点(x,y,z)处切线向量的方向余弦
   

1.4 曲线积分的计算

1. 对弧长的曲线积分
   设L的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},(\alpha ⩽t⩽\beta )$，f(x,y)在L上有定义且连续，φ(t)，ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数，${\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)̸=0$，则
   $${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t),\psi (t)]\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$
   注： 定积分的下限α一定要小于上限β。
   

2. 对坐标的曲线积分
   设L的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$，P(x,y)，Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续，当t单调地从α变到β时，M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B，φ(t)，ψ(t)在以α及β为端点的闭区间上一阶连续可导，且${\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)̸=0$，则
   $${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{\alpha }^{\beta }\{P[\phi (t),\psi (t)]{\phi }^{\prime }(t)+Q[\phi (t),\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\}\mathrm{d}t$$
   注： 下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点，α不一定小于β。
   

2 曲面积分

2.1 对面积的曲面积分

2.1.1 定义

$$\underset{\Sigma }{\iint }f(x.y,z)\mathrm{d}S=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)△S_i$$
其中λ为各小块曲面直径的最大值。

2.1.2 性质

类似于对弧长的曲线积分

1. $\underset{\Sigma }{\iint }[k_1{f}_1(x,y,z)\pm k_2{f}_2(x,y,z)]\mathrm{d}s=k_1\underset{\Sigma }{\iint }{f}_1(x,y,z)\mathrm{d}s\pm k_2\underset{\Sigma }{\iint }{f}_2(x,y,z)\mathrm{d}s$，(k₁,k₂为常数)
   
2. $\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{{\Sigma }_1}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}s+\underset{{\Sigma }_2}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}s$，(Σ=Σ₁+Σ₂)
   
3. 设在Σ上$f(x,y,z)⩽g(x,y,z)$，则$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}s⩽\underset{\Sigma }{\iint }g(x,y,z)\mathrm{d}s$
   

2.2 对坐标的曲面积分

2.2.1 定义

$$\underset{\Sigma }{\iint }R(x.y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(△S_i{)}_{xy}$$
其中R(x,y,z)称为被积函数，Σ称为积分曲面，类似地，可定义
$$\underset{\Sigma }{\iint }P(x.y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(△S_i{)}_{yz}$$
$$\underset{\Sigma }{\iint }Q(x.y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(△S_i{)}_{zx}$$
一般地，有
$$\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\underset{\Sigma }{\iint }Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\underset{\Sigma }{\iint }R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

2.2.2 性质

类似于对坐标的曲线积分

1. 若Σ=Σ₁+Σ₂，则
   $\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{{\Sigma }_1}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\underset{{\Sigma }_2}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
   

2. 设Σ是有向曲面，-Σ是与Σ取相反侧的有向曲面，则有
   $\underset{-\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
   ${\int }_{-L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=-{\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$
   

2.3 两类曲面积分的关系

1. 对面积的曲面积分与曲面的侧无关，对坐标的曲面积分与曲面的侧有关
   

2. $\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{\Sigma }{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S$，其中$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$是有向曲面Σ上点(x,y,z)处的法线向量的方向余弦
   

2.4 曲面积分的计算

1. 对面积的曲面积分
   设函数f(x,y,z)在光滑曲面Σ上连续
   若曲面Σ的方程为z=z(x,y)，它在xOy平面上的投影区域为D_xy，则
   $$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D_{xy}}{\iint }f[x,y,z(x,y)]\cdot \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
   若曲面Σ的方程为x=x(y,z)，它在yOz平面上的投影区域为D_yz，则
   $$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D_{yz}}{\iint }f[x(y,z),y,z]\cdot \sqrt{1+(\frac{\partial x}{\partial y}{)}^2+(\frac{\partial x}{\partial z}{)}^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$
   若曲面Σ的方程为y=y(z,x)，它在zOx平面上的投影区域为D_zx，则
   $$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D_{zx}}{\iint }f[x,y(z,x),z]\cdot \sqrt{1+(\frac{\partial y}{\partial z}{)}^2+(\frac{\partial y}{\partial x}{)}^2}\mathrm{d}z\mathrm{d}x$$
   

2. 对坐标的曲面积分
   $$\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm \underset{D_{yz}}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z\pm \underset{D_{zx}}{\iint }Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x\pm \underset{D_{xy}}{\iint }R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
   如果Σ是曲面的前侧、右侧、上侧，应取正号；反之取负号。
   

2.5 高斯公式及其应用

2.5.1 高斯公式

设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则
$$\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}v=\underset{\Sigma }{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
其中Σ是Ω的整个边界曲面取外侧。特别地，当取P=x，Q=y，R=z时，空间区域的体积为
$$V=\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

2.5.2 散度

向量场$A=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$的散度为
$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

2.5.3 高斯公式的向量形式

$\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}A\mathrm{d}v=\underset{\Sigma }{\iint }A\mathrm{d}S$，其中Σ是空间区域Ω的边界曲面，$\mathrm{d}S=(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$

2.6 斯托克斯公式及其应用

2.6.1 斯托克斯公式

设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手法则，函数P,Q,R在包含Σ在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有
$$\underset{\Gamma }{\oint }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

2.6.2 旋度

向量场$A=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$的旋度为
$$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}A=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})i+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})j+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})k=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

2.6.3 斯托克斯公式的向量形式

$$\underset{\Gamma }{\oint }A\cdot \mathrm{d}r=\underset{\Sigma }{\iint }\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}A\cdot \mathrm{d}S$$
其中$\mathrm{d}r=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)$，$\mathrm{d}S=(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$。

2.7 曲面形物体的转动惯量和引力

1. 面密度为ρ(x,y,z)的空间曲面Σ的质量$M=\underset{\Sigma }{\iint }\rho \mathrm{d}S$，重心$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=(\frac{1}{M}\underset{\Sigma }{\iint }x\rho \mathrm{d}S,\frac{1}{M}\underset{\Sigma }{\iint }y\rho \mathrm{d}S,\frac{1}{M}\underset{\Sigma }{\iint }z\rho \mathrm{d}S)$，关于x,y,z轴和原点的转动惯量
   $$I_x=\underset{\Sigma }{\iint }(y^2+z^2)\rho \mathrm{d}S,I_y=\underset{\Sigma }{\iint }(x^2+z^2)\rho \mathrm{d}S$$
   $$I_z=\underset{\Sigma }{\iint }(x^2+y^2)\rho \mathrm{d}S,I_o=\underset{\Sigma }{\iint }(x^2+y^2+z^2)\rho \mathrm{d}S$$
   

2. 面密度为ρ(x,y,z)的空间曲面Σ对位于点$(x_0,y_0,z_0)$处质量为m₀的质点的引力为$F=\{F_x,F_y,F_z\}$，其中
   $$F_x=G\underset{\Sigma }{\iint }\frac{\rho \cdot m_0(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}S$$
   $$F_y=G\underset{\Sigma }{\iint }\frac{\rho \cdot m_0(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}S$$
   $$F_z=G\underset{\Sigma }{\iint }\frac{\rho \cdot m_0(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}S$$
   其中$r=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}$，G为引力常数。