考研数学之线性代数知识点整理——6.二次型

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六、二次型

1 二次型的概念及定理

1.1 二次型概念

称含有n个变量$x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n$的二次齐次函数
$f(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+\cdot \cdot \cdot +a_{nn}{x}_n^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+\cdot \cdot \cdot +2a_{1n}{x}_1{x}_n+2a_{23}{x}_2{x}_3+\cdot \cdot \cdot +2a_{2n}{x}_2{x}_n+\cdot \cdot \cdot +2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n$
为二次型。
只含有平方项的二次型$f=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdot \cdot \cdot +k_n{y}_n^2$称为二次型的标准型。
若标准型的系数只在1，-1，0三个数值中取值，则称其为二次型的规范形。

1.2 二次型的矩阵形式

设$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdot \cdot \cdot & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdot \cdot \cdot & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdot \cdot \cdot & a_{nn}\end{array}\right)$
称$f(x)=x^{T}Ax$为二次型的矩阵形式。其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵。二次型f称为实对称矩阵A的二次型。实对称矩阵A的秩称为二次型的秩。

1.3 标准型

任给二次型$f=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j(a_{ij}=a_{ji})$，总有正交变换$x=Py$使f化为标准形$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_{2}y{2}_2+\cdot \cdot \cdot +{\lambda }_n{y}_n^2$，其中${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_n$是f的矩阵$A=(a_{ij})$的特征值。
用正交变换化二次型为标准型的步骤：

• 将二次型表示成矩阵形式$f=x^{T}Ax$；
• 求出A的所有特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_n$；
• 求出对应于特征值的特征向量${\xi }_1,{\xi }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\xi }_n$；
• 将特征向量${\xi }_1,{\xi }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\xi }_n$正交化，单位化，得${\eta }_1,{\eta }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\eta }_n$，记$C=({\eta }_1,{\eta }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\eta }_n)$
• 作正交变换$x=Cy$，则得f的标准型$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_{2}y{2}_2+\cdot \cdot \cdot +{\lambda }_n{y}_n^2$
  

1.4 规范型

标准型中平方项系数只有1，0，-1。

2 矩阵的合同

2.1 合同矩阵

两个n阶方阵A，B，若存在可逆矩阵P，使得$P^{T}AP=B$成立，则称A，B合同，记为$A\simeq B$。

2.2 矩阵合同的充要条件

矩阵A，B均为实对称矩阵，则$A\simeq B$⟺二次型$x^{T}Ax$与$x^{T}Bx$有相同的正负惯性指数，即有相同的标准型。

2.3 等价、相似、合同之间的关系

• 相似⟹等价
  $A\sim B\Rightarrow A,B$同型且$r(A)=r(B)\Rightarrow A\cong B$
• 合同⟹等价
  $A\simeq B\Rightarrow A,B$同型且$r(A)=r(B)\Rightarrow A\cong B$
• 相似与合同之间一般情况不能递推，但有以下附加条件时可以
  • 若A，B均为实对称矩阵，则有A，B一定可以合同于对角矩阵，则$A\sim B\Rightarrow A\simeq B\Rightarrow A\cong B$
  • 存在一个正交矩阵P，使得$P^{T}AP=B$，即$A\simeq B$，则有$A\simeq B\Rightarrow A\sim B$
  • 若A，B均为实对称矩阵，且存在一个正交矩阵P，使$A\sim B$时有$A\sim B\iff A\simeq B\iff A\cong B$
  • $A\sim B\Rightarrow r(A)=r(B),A\simeq B\Rightarrow r(A)=r(B),A\cong B\Rightarrow r(A)=r(B)$
    

3 正定二次型

3.1 定义

如果对任何非零向量x，都有$x^{T}Ax>0$(或$x^{T}Ax<0$)成立，则称$f=x^{T}Ax$为正定(负定)二次型，矩阵A称为正定矩阵(负定矩阵)。

3.2 正定矩阵的判别法

• 设A为正定矩阵，若A与B合同，则B也是正定矩阵
• 对角矩阵$\Lambda =diag(d_1,,d_2,\cdot \cdot \cdot ,d_n)$正定的充要条件是$d_i>0,i=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,n$
• 对称矩阵A为正定的充要条件是它的特征值全大于零
• A为正定矩阵的充要条件是A的正惯性指数p=n
• 矩阵A为正定矩阵的充要条件是：存在非奇异矩阵C，使$A=C^{T}C$，即A与E合同
• n阶矩阵$A=(a_i{a}_j)$为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主子式均为正
• 若A为正定矩阵，则|A|>0