考研数学之高等数学知识点整理——14.重积分

本系列博客汇总在这里：考研数学知识点汇总系列博客

十四、重积分

1 二重积分

1.1 二重积分的定义

在有界闭区域D上的有界函数f(x,y)的二重积分为
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)△{\sigma }_i$$
其中λ为各小区域直径中的最大值。
注： 若f(x,y)在有界闭区域上连续，则二重积分一定存在。
几何意义：当连续函数$z=f(x,y)⩾0$时，二重积分$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$表示曲顶柱体的体积。

1.2 二重积分的性质

1. $\underset{D}{\iint }[kf(x,y)\pm lg(x,y)]\mathrm{d}\sigma =k\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \pm l\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$，(其中k,l为常数)
   
2. 若D可分为两个区域D₁和D₂，则
   $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$
   
3. $\underset{D}{\iint }\mathrm{d}\sigma =\sigma$，其中σ为区域D的面积，由此可求平面图形的面积。
   
4. 若在D上，$f(x,y)⩽g(x,y)$，则
   $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ⩽\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$
   
5. $|\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma |⩽\underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$
   
6. 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大和最小值，σ是D的面积，则有
   $m\sigma ⩽\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ⩽M\sigma$
   
7. 中值定理
   设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma$
   

1.3 二重积分的计算

1.3.1 利用直角坐标计算二重积分

• 若D为X——型区域，则D可用不等式组表示为：$a⩽x⩽b,{\phi }_1(x)⩽y⩽{\phi }_2(x)$，则
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$
  
  

• 若D为Y——型区域，则D可用不等式组表示为：$c⩽y⩽d,{\psi }_1(y)⩽x⩽{\psi }_2(y)$，则
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$
  
  
  (PS：GeoGebra的曲边填充一直搞不定，用直线代替一下，理解即可)
  

1.3.2 利用极坐标计算二重积分

• 若极点在D内，则D可用不等式组表示为：$0⩽\theta ⩽2\pi ,0⩽r⩽r(\theta )$，则
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r$$
  

• 若极点在D的边界线上，则D可用不等式组表示为：$\alpha ⩽\theta ⩽\beta ,0⩽r⩽r(\theta )$，则
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r$$
  

• 若极点在D外，则D可用不等式组表示为：$\alpha ⩽\theta ⩽\beta ,r_1(\theta )⩽r⩽r_2(\theta )$，则
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r$$
  

2 三重积分

2.1 三重积分的定义

空间有界闭区域Ω上的有界函数f(x,y,z)的三重积分为
$$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)△v_i$$
其中λ为各小闭区域直径中的最大值。
注： 若f(x,y,z)在空间有界闭区域Ω上连续，则三重积分$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v$一定存在
几何意义：假设一物体在空间闭区域Ω中有密度函数ρ(x,y,z)，且ρ(x,y,z)在Ω上连续，则$M=\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}v$表示此物体的质量。

2.2 三重积分的计算

2.2.1 利用直角坐标计算三重积分

• 若Ω可表示为$z_1(x,y)⩽z⩽z_2(x,y),(x,y,)\in D_{xy}$，其中$D_{xy}=\{(x,y)|y_1(x)⩽y⩽y_2(x),a⩽x⩽b\}$为Ω在xOy面上的投影，则
  $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$
  

• 若Ω可表示为$\Omega =\{(x,y,z)|(x,y)\in D_z,c_1⩽z⩽c_2\}$，其中D_z是平行于xOy平面，竖坐标为z的平面截闭区域Ω所得的一个平面闭区域，则
  $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v={\int }_{c_1}^{c_2}\mathrm{d}z\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
  

2.2.2 利用柱坐标计算三重积分

• 若柱面坐标变换为$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta ,\\ y=r\sin \theta ,\\ z=z,\end{array}$则
  $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v=\underset{\Omega }{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$
  

2.2.3 利用球面坐标计算三重积分

• 若球面坐标变换为$\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta ,\\ y=r\sin \phi \sin \theta ,\\ z=r\cos \phi ,\end{array}$则
  $$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}v=\underset{\Omega }{\iiint }f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )\times r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$$
  

3 重积分的应用

3.1 重积分的几何应用

3.1.1 平面图形面积

$$\sigma =\underset{D}{\iint }\mathrm{d}\sigma$$

3.1.2 曲面面积

由方程$z=z(x,y)$确定的单值光滑曲面Σ的面积为
$$S=\underset{D_{xy}}{\iint }\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
其中D_xy是该曲面在xOy平面上的投影区域。
注意： 当曲面Σ的方程为$x=x(y,z)，(y,z)\in D_{yz}$或$y=y(x,z),(x,z)\in D_{xz}$时，可得该曲面的面积公式
$$S=\underset{D_{yz}}{\iint }\sqrt{1+(\frac{\partial x}{\partial y}{)}^2+(\frac{\partial x}{\partial z}{)}^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$
或$$S=\underset{D_{xz}}{\iint }\sqrt{1+(\frac{\partial y}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial y}{\partial z}{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}z$$

3.1.3 空间立体的体积

• 曲顶柱体的体积
  若$f(x,y)⩾g(x,y),(x,y)\in D$，则以$z=f(x,y)$为顶，以$z=g(x,y)$为底，且在xOy平面上投影区域为D的曲顶柱体体积为
  $$V=\underset{D}{\iint }[f(x,y)-g(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
  

• $V=\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}v$
  

3.2 重积分的物理应用

3.2.1 质量

• 设平面薄片D的面密度为ρ(x,y)，则平面薄片D的质量
  $$M=\underset{D}{\iint }\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma$$
  

• 设ρ(x,y,z)是空间物体Ω在点(x,y,z)处的体密度，Ω的质量为
  $$M=\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}v$$
  

3.2.2 物体的重心坐标

• 设平面薄片D的面密度为ρ(x,y)，则D的重心坐标为
  $$\bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }x\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma },\bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }y\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }$$
  

• 设空间物体Ω的体密度为ρ(x,y,z)，则Ω的重心坐标为
  $$\bar{x}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }x\rho (x,y,z)\mathrm{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}v},\bar{y}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }y\rho (x,y,z)\mathrm{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}v},\bar{z}=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }z\rho (x,y,z)\mathrm{d}v}{\underset{\Omega }{\iiint }\rho (x,y,z)\mathrm{d}v}$$
  

3.2.3 转动惯量

用I_x，I_y，I_z，I_o分别表示对x轴，y轴，z轴和原点的转动惯量。

• ρ(x,y)为平面薄片D的面密度，则
  $$I_x=\underset{D}{\iint }{y}^2\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma$$
  $$I_y=\underset{D}{\iint }{x}^2\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma$$
  $$I_o=\underset{D}{\iint }(x^2+y^2)\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma$$
  

• 若空间物体Ω的体密度为ρ(x,y,z)，则
  $$I_x=\underset{\Omega }{\iiint }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v$$
  $$I_y=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v$$
  $$I_z=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v$$
  $$I_o=\underset{\Omega }{\iiint }(x^2+y^2+z^2)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v=\frac{1}{2}(I_x+I_y+I_z)$$
  关于xOy面的转动惯量为
  $$I_{xy}=\underset{\Omega }{\iiint }{z}^2\rho (x,y,z)\mathrm{d}v$$
  

3.2.4 物体对质点的引力

• 设平面薄片D的面密度ρ(x,y)在D上连续，则薄片对位于z轴上的点M₀(0,0,a)处单位质量的质点的引力为$F=\{F_x,F_y,F_z\}$，其中
  $$F_x=G\underset{D}{\iint }x\frac{\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }{(x^2+y^2+a^2{)}^{\frac{3}{2}}}$$
  $$F_y=G\underset{D}{\iint }y\frac{\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }{(x^2+y^2+a^2{)}^{\frac{3}{2}}}$$
  $$F_z=-G\underset{D}{\iint }\frac{a\rho (x,y)\mathrm{d}\sigma }{(x^2+y^2+a^2{)}^{\frac{3}{2}}}$$
  

• 设空间物体Ω的体密度ρ(x,y,z)在Ω上连续，Ω外一质量为m₀的质点M₀(x₀,y₀,z₀)，则物体对质点的引力为$F=\{F_x,F_y,F_z\}$，其中
  $$F_x=\underset{\Omega }{\iiint }\frac{G{m}_0(x-x_0)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$$
  $$F_y=\underset{\Omega }{\iiint }\frac{G{m}_0(y-y_0)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$$
  $$F_z=\underset{\Omega }{\iiint }\frac{G{m}_0(z-z_0)\rho (x,y,z)\mathrm{d}v}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$$