（数论五）关于逆元
学这个之前建议看看之前发的那篇关于快速幂和扩展gcd的博文：跳转
一.引出逆元的用途
在讲逆元是什么之前，先说一下我们遇到的错误。。
对于特别大的数的连乘，让我们对最终结果取模1e9 + 7，可能在连乘的时候就已经爆longlong了，我们应该怎么做呢？
根据同余定理可知，(a✖️b) % mod = ( (a % mod) ✖️ (b % mod)) % mod，因此，我们可以设longlong型数ans = 1，每次乘以一个较大数的时候，都取模一下1e9+7，避免爆longlong。代码如下：
const ll mod = 1e9 + 7;
ll ans = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
ans = ans * a[i] % mod;
}
最终ans即为n个数连乘取模1e9 + 7的结果
若是不只是乘法，中间再夹杂着除法，我们再按照上面的方式ans = ans / a[i] % mod，当我们兴冲冲的上交后，一个冷冰冰的WA在我们脸上胡乱的拍～
这是为啥呢？
因为同余定理中不包含(a / b) % mod = ((a % mod) / (b % mod)) % mod，记住不包含！！！
那么我们该怎么办呢？好办，我们将除法改成乘不就完了嘛～
除以一个数不就是乘一个数的倒数嘛，一个倒数在取模mod时为多少呢？
这时候逆元就出现了！！
也就是说，a / b % mod相当于a ✖️ b关于mod的逆元 % mod
我们只需要求b关于mod的逆元就可以了～
二.逆元的求法
至于求逆元的方式有很多，比如利用费马小定理，扩展欧几里得，欧拉定理等等…我比较常用方法是费马小定理和扩展欧几里得
(1)利用费马小定理求逆元：
我们由于费马小定理可知：当p为素数时，有a ^ (p - 1) ≡ 1 (mod p)
两边同时除a，得a^(p - 2) ≡ inv(a) (mod p) 其中inv(a)是a关于p的逆元
因此: inv(a) = a ^ (p - 2) (mod p)
我们就可以通过使用快速幂求得a ^ (p - 2)取模p得到 a 关于p的逆元
代码如下：
//利用快速幂求a^(p - 2) mod p
ll pow_mod (ll a, ll b, ll p) {
ll ans = 1;
while (b) {
if (b & 1) ans = ans * a % p;
b >>= 1;
a = a * a % p;
}
return ans;
}
//费马小定理求a关于p的逆元
ll permat (ll a, ll p) {
return pow_mod (a, p - 2, p);
}
(2)利用扩展欧几里得求逆元
上一篇我们学了gcd的求法，它是根据欧几里得算法的核心 gcd (a, b) = gcd (b, a % b)递归得到的
那么，扩展欧几里得是什么呢？
我们可以利用已知的a，b，一定存在至少一组解x，y，使它们满足贝祖等式：a✖️x + b✖️y = gcd(a, b)
至于这个定理为什么成立，我也没学。。。Orz，我觉得会用就可以了，冷汗
根据a✖️x + b✖️y = gcd(a, b)，若a，b互质，那么此时a✖️x + b✖️y = gcd(a, b) = 1
我们对a✖️x + b✖️y = 1同时取余b，会得到a✖️x % b + b✖️y % b = 1 % b
=> a✖️x % b = 1 % b
=> a✖️x = 1(mod b)
大家看着是不是似成相识呢？，对！x就是a关于b的逆元
因此，我们就可以通过扩展欧几里得算法求解x即可。
关于扩展欧几里得算法：
我们设x✖️a + y✖️b = d （d为gcd(a, b)); (1)
那么x1✖️b + y1✖️(a % b) = d; (2)
也就是说x✖️a + y✖️b = x1✖️b + y1✖️(a % b); （3）
因为a % b = a - (a / b)✖️b; (4)
我们把(4)带入(3)，得：
x✖️a + y✖️b = x1✖️b + y1✖️(a - (a / b)✖️b) (5)
化简得：x✖️a + y✖️b = y1✖️a + (x1 - (a / b)✖️y1)✖️b （6）
因此，我们可得x = y1， y = x1 - (a / b)✖️y1
代码实现如下：
//扩展欧几里得
ll extend_gcd (ll a, ll b, ll &x, ll & y) {
if (a == 0 && b== 0) return -1; //此时由于a,b无最大公约数，所以出错
if (b == 0) { //递归终止条件，若b == 0，那么gcd(a,b) == a，a * x + b * y = gcd (a, b) = 1，因此x = 1
x = 1;
y = 0;
return a; //返回a用于判断a是否为1，用以确定原a,b是否互质
}
ll d = extend_gcd (b, a % b, y, x); //由扩展欧几里得可得
y -= a / b * x;
return d;
}
//求逆元 ax = 1 (mod p)
ll mod_reverse (ll a, ll p) {
ll x, y;
ll d = extend_gcd(a, p, x, y); //把a带入a，p带入b，通过扩展欧几里得求x
if (d == 1) return (x % p + p) % p; //如果a == 1表明gcd(a,p)为1，也就是a,p互质，因此输出x
else return -1; //否则a,p不互质，返回-1
}
三.线性求逆元
求素数有线性筛，那么逆元呢？逆元当然不能落后啦，于是线性求逆元出现了Orz～
线性求逆元的公式是：inv(a) = (p - p / a)✖️inv(p % a) % p
证明过程：设x = p % a, y = p / a;
则有x + y✖️a = p
因此(x + y✖️a) % p = 0
x % p = (- y)✖️a % p
x✖️inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y)✖️inv(x) % p
inv(a) = (p - p / a)✖️inv(p % a) % p
这样，我们就可以利用之前的逆元求解后面的逆元了，代码如下：
void init() {
inv[0] = 1;
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
inv[i] = ((p - p / i) * inv[p % i]) % p;
}
}
四.线性求阶乘逆元
如果我们需要求0!到n!的逆元，对每个元素都求一遍会特别慢
前面说了，逆元就可一看做是求倒数
那么就有1 / (n+1)! × (n+1)=1/ n!
因此inv[n + 1]✖️(n + 1) = inv[n] (mod p)
代码如下：
ll fact[N + 5]; //存储阶乘
ll inv[N + 5]; //存储阶乘的逆元
fact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
fact[i] = fact[i - 1] * i % p; //线性求阶乘
}
inv[N] = mod_reverse(fact[N], p); //利用前面学的扩展欧几里得求fact[N]关于p的逆元
for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod; //求线性阶乘逆元
}
以上就是我对逆元的全部理解了，就酱紫～
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