NPC问题的证明（可满足性问题、3-CNF可满足性问题、团问题、顶点覆盖问题）

NPC问题的证明

一、基础概念

• P问题：如果一个判定问题能在多项式的时间内解决，那么这个判定问题就属于P问题
• NP问题：对于一个判定问题，如果给定一个可能的解实例（称为“证书”），可以在多项式时间内验证这个解实例，即判定为真还是为假，那么它是 NP问题。
• NPC问题：如果任何一个NP问题都能通过一个多项式时间算法，转换为某个NP问题，那么这个NP问题就称为NPC问题。
• NP-Hard问题： 如果任何一个NP问题都能通过一个多项式时间算法，转换为某个问题，但这个问题不一定是NP问题，那么它是 NP-Hard问题
  由于

---

二、NPC问题的证明：

证明方法：

• 首先证明问题L属于NP问题；
• 其次，找出一个NPC问题L’，如果L’能在多项式时间内约简到L，即证明L属于NP-Hard问题；（证明原理：因为对于任意一个NP问题L’’，都能在多项式时间约简到L’，而L’又能在多项式时间内约简到L，所以任意的一个NP问题L’’，都能约简到问题L，即L是NP-Hard问题）
• 于是就证明了L属于NPC问题。

---

三、NPC问题证明举例：

电路可满足性问题（CirsuitSAT）

问题描述：
给定一个电路图，如果存在一组输入信号，使输出为"1"，那么此电路使可满足的。

证明过程暂略。

---

可满足性问题（SAT）

问题描述：
由 N个布尔变元X₁，X₂，X₃…X_n，和M个布尔连接符（如：与、或、非、蕴含、等价…）构成的布尔表达式F，如果存在一组布尔变元和布尔连接符实例，判别F输出为1，则为可满足。

证明过程：
1. 证明SAT属于NP问题：
给定一组布尔变元和布尔连接符的实例，即一个证书y，显然可以在多项式时间类判定是否F的输出为1 。即证SAT属于NP问题。

2. 证明CirsuitSAT问题可以在多项式时间内约简到SAT问题：

• 任意一个电路图都可以在多项式时间内转化一个布尔表达式F， 即对于CirsuitSAT问题的任何一个实例，都可以在多项式时间内转化成一个SAT问题的实例。
• SAT问题可满足当且仅当CirsuitSAT问题可满足：
  易知，SAT问题可满足 —> CirsuitSAT问题可满足，
  且CirsuitSAT问题可满足—>SAT问题可满足。

---

3-CNF可满足性问题（3-CNF-SAT）

问题描述：由 3n个布尔变元X₁⁽¹⁾…X_n⁽¹⁾…X₁⁽²⁾…X_n⁽²⁾…X₁⁽³⁾…X_n⁽³⁾，构成的n个子句C₁C₂C₃…C_n-1C_n，每个子句为C_i = （X₁⁽ⁱ⁾或X₂⁽ⁱ⁾或X₃⁽ⁱ⁾），布尔表达式F=C₁且C₂且C₃…且C_n-1且C_n，如果存在一组布尔变元赋值，可以判别F输出为1，则为3-CNF-SAT是可满足的。

证明过程暂略。
提示：SAT是可以通过公式构造，转化成3-CNF-SAT的。
如a+c*b 等价于(y₂且 y₂等价于c且b) 且 (y₁且 y₁等价于a且y₂)

---

团问题（Clique）

问题描述：
给定义一个无向图G = 和一个正整数k，是否可以在图G中找出一个大小为k的完全子图（一个团）。

证明过程：
1. 团问题是NP问题。
对于一个给定的无向图G和整数k，以顶点集V的一个子集V’做证书，只需要验证V’是否是G中的一个大小为k的团。显然，只需要检查V’中的任意两个点u,v，是否有(u,v)属于G，可以知道这能在多项式时间内完成。所以团问题是NP问题。

2. 一个3-CNF可满足性问题可以在多项式时间内约简成一个团问题。

• 约简算法构造：对于3-CNF-SAT的一个实例 F = C₁ C₂…C₃…C_n-1C_n ，子句 C_i有三个不同的文字l₁⁽ⁱ⁾，l₂⁽ⁱ⁾，l₃⁽ⁱ⁾，对于两个子句中的两个文字 l_a⁽ⁱ⁾和 l_b^(j)，如果满足
  （1）i != j
  （2）l_a⁽ⁱ⁾不是 l_b^(j)的非
  那么在图G中可以用一条边连接 l_a⁽ⁱ⁾和 l_b^(j)

• 证明F是可满足的当且仅当G有一个大小为k的团。
  a. 假定F是可满足的，那么每个子句中都可以给一个文字赋值为1，那么根据约简算法的构造，图G中一定有一个大小为k的团
  b. 假定图G有一个大小为k的团，那么依据对应关系，团中的 k个点对应的 k个文字可以赋值为1，而这 k个文字属于 F中不同的子句，可以知道 F必然是可满足的。

---

顶点覆盖问题（VertexCover）

问题描述：
给定一个无向图G，和一个整数k，求是否存在一个点集V’，使得所有的(u,v)属于E，都有u属于V’或者v属于V’（或者u和v都属于V’），且V’的大小为k。

证明过程：
1. 证明VertexCover属于NP问题：
给定一个点集V’（即一个证书y），只需要遍历G中所有的边，判断其是否在点集V’上满足“顶点覆盖”的条件，易知这可以在多项式时间内判断，即VertexCover问题，可以在多项式时间内验证。所以VertexCover属于NP问题。

2. 证明一个Clique问题可以在多项式时间内约简到一个VertexCover问题：
只需要证明，团问题图G有一个大小为k的团当且仅当顶点覆盖问题图!G有一个大小为|V| - k的顶点覆盖。（其中!G是G的补图）

• 团问题可以推导顶点覆盖问题
  设G有一个团V’且其大小为k，只需要证明V-V’是!G的顶点覆盖。
  因为对于任意的（u,v）属于!E，有（u,v）不属于E，而团V’中的点任意两点都构成G中的边，所以u或者v至少一个属于V-V’。即任意的（u,v）属于!E，有u或者v属于V-V’。

• 顶点覆盖问题可以推导团问题
  设!G有一个顶点覆盖V’且其大小为k，只需要证明V-V’是G的团。 如果（u,v）属于!E，u或者v至少一个属于V’，反过来，u且v都不属于V’，那么（u,v）不属于!E，即（u,v）属于E，即V-V’构成G的一个完全子图。