【数值计算】数值解析--n元一次联立方程组

n元1次联立方程组

把元1次方程组用一个的矩阵按如下方式表示：

这里的是系数项，为常数。用矢量表示，即

1次方程组可以根据Cramer's fomula求解． 如果存在逆矩阵的话，上式可由：

解的． 逆矩阵如果用余子式矩阵表示，即

这里的是的行列式(determinant)，且． 另外，余子式矩阵由，

构成．这里的是去掉的行列后的 的行列式．

将余子式矩阵带入逆矩阵公式中.

可由，

求出未知数的值． 之后，右侧的的项中，把的第列用\V{b}替换，即：

这便是Cramer公式．

使用Cramer公式的计算次数是次，计算量很大． 矩阵的元素数很少或者检验解的时候虽然可行，但是当矩阵的size很大时则求解困难．这里介绍一些数值解析中常用的求近似解方法．

联立方程的数值解法可以大体分成如下两类，

• 直接解法(direct method)
• 迭代解法(iterative method)

之后，将分别对直接解法中的高斯消去法和高斯-约当(Gauss-Jordan)法，迭代解法中的雅可比法，高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)法，共轭梯度法进行叙述．同时，三角分解法主要用于前处理，之后也会对其中的LU分解，Cholesky分解法进行说明．

• n元1次方程组：直接解法
• n元1次方程组：迭代法
• n元1次方程组：三角分解
• n元1次方程组：共轭梯度法
• n元1次方程组：双共轭梯度法

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SourceCode

上述方法的Visual Studio 2010代码如下．

linearsystem_v1.1.zip

包含的方法有，

• 高斯消去,高斯-约当法
• 雅可比法，高斯-塞德尔
• 共轭梯度法，包含前处理的共轭梯度法

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参考文献 

• 川上一郎, ``数値計算の基礎'', http://www7.ocn.ne.jp/~kawa1/
• Yousef Saad, Iterative methods for sparse linear systems 2nd ed., SIAM, 2003.