Python数据结构：图形结构

本章主要内容：

1. 图的四种表示方法：邻接矩阵法，邻接链表法，邻接复合链表法，索引表格法
2. 图的遍历：DFS（堆栈+递归），BFS（队列+递归）
3. 生成树：DFS生成树，BFS生成树，最小生成树（求整个图的最短加权路径）（Kruskal算法：森林->树，Prim算法：树+节点）
4. 图的最短路径：点到点的最短路径（Dijkstra、Prim、Floyd）
5. AOV网络与拓扑排序
6. AOE网络

欧拉环与欧拉链

七桥问题：有七座桥连接4座城市，是否有人能每座桥只经过一次，遍历4座城市，并且回到原点。
欧拉环：将城市视为顶点，桥视为边，只有每个顶点都有偶数多个桥与之相连，才能从某点出发，只经过每条边一次，然后回到起点。
欧拉链：若不要求回到起点，那么起点和终点和奇数多个边相连，其他顶点和偶数多个边相连。

图

无向图：边没有方向的图
有向图：边有方向的图

图的数据表示法

邻接矩阵法、邻接表法、邻接复合链表法、索引表格法。

邻接矩阵法：
矩阵A，A(i,j)=1表示存在从顶点i到顶点j的边，A(i,j)=0表示不存在从顶点i到顶点j的边。

邻接表法：
表头存放的是顶点，若顶点i到顶点j存在链接，就在表头i后面加上一个节点，值为j。

邻接复合链表法：
每个节点有4个属性，分别是$V_1,V_2,LIN{K}_1,LIN{K}_2$
$V_1,V_2$用来表示存在顶点$V_1$到顶点$V_2$的边。
$LIN{K}_1$存储下一个与$V_1$相连的边的顶点，若没有下一个，则为None。
$LIN{K}_2$存储下一个与$V_2$相连的边的顶点，若没有下一个，则为None。

索引表格法： 和邻接链表类似，只是用列表存放数据。
由索引与表格两个部分组成。索引部分存放着所有的节点，与每个节点对应的开始的索引。表格部分按序存放着每个节点对应连接的其它节点。

图的遍历

深度优先遍历（DFS）

第一步：从一个点开始，将该点标记为已遍历，将与该点相连的点压入堆栈。

第二步：从堆栈弹出一个元素，将该点标记为已遍历，将与该元素相连，且未 被标记的点压入堆栈。

第三步：重复第二步，直到所有的点都被标记。

广度优先遍历（BFS）

第一步：从一个点开始，将该点标记为已遍历，将与该点相连的点压入队列。

第二步：从队列弹出一个元素，将该点标记为已遍历，将与该元素相连，且未 被标记的点压入队列。

第三步：重复第二步，直到所有的点都被标记。

生成树

一个图的生成树就是以最小的边连通图中所有顶点，且不造成回路的树形结构。

DFS生成树和BFS生成树

用DFS和BFS生成的生成树，就分别叫DFS生成树和BFS生成树。

最小生成树

给树的边加上权重，所有生成树中，权重之和最小的生成树叫做最小生成树。

Kruskal算法：

将边的权值按照从小到大的顺序排列，从权值最小的边开始建立最小生成树，若是加入的边会造成回路，就舍弃不用。

具体操作时：

1. 将所有的节点视为一个森林，每个节点都是森林中的一棵树。
2. 在边的集合中找到最小的边，判断这条边的两个顶点是否属于某个树，若是不属于，则将这两棵树连接起来。若是属于同一棵树，则什么都不做
3. 重复操作2，直到左右的顶点都被遍历。

Prim算法：

1. 图中距离最小的边的两个节点作为树
2. 计算图中其他树到该树的距离，若是没有直接相连接的边，则距离非常大。选择其中距离最小的节点，加入该树
3. 重复以上过程直至遍历所有的点。

K算法和P算法很类似，区别在于：
K算法是选择最小的边，相互融合成大树。以边为中心。
P算法是一棵树不断选择和这棵树距离最短的节点。以点为中心。

图的最短路径

从一个点出发，到达另外一个点的加权路径最短的路径叫做图的最短路径。

一个顶点到全部顶点的最短路径通常用Dijkstra算法

Dijkstra算法：

第一步： 计算初始节点S到所有的节点的距离$D(S,K),K\in allpoint$，无法到达的记为无穷（可以写为一个充分大的整数）。

第二步： 选择当前距离最小的节点A，计算其他节点到A节点的距离，假设存在节点B，满足$$D(S,A)+D(A,B)>D(S,B)$$则更新$D(S,B)$为$D(S,A)+D(A,B)$。

第三步： 遍历所有的点。 最 后的到的$D(S,K),K\in allpoint$就是S到各个点的距离。

全部顶点到全部顶点：

Floyd算法:
待补充

也可以用Dijkstra算法求出每个点到所有顶点的最短距离，最终合起来的结果和Floyd相同。

AOV网络与拓扑排序

AOV网络图（Action of Vertex Network）主要用于协助规划大型项目。

网络中的点表示一项事件，有向边表示事件的先后顺序。

拓扑排序就是将网络的次序转换为线性次序。（也就是按照这个顺序可以完成整个项目，且顺序不唯一。）

拓扑排序算法：

第一步： 寻找图中没有先行者的节点。

第二步： 输出该节点，并去除该与该节点相连的边。

第三步： 重复以上两步，直到所有节点都被输出。

AOE网络

AOV网络是指图中的顶点表示一项工作，边表示顶点之间的先后关系。
AOE网络（Action On Edge）：顶点作为“进入边事件“汇集点”，当所有“进入边事件”发生后，才可以“外出事件”。

关键路径： 起点到达终点花费时间最长的一条路径。想要缩短总时间，就需要从关键路径下手。

最早时间： 从前往后计算到达节点所需的最大时间。（若第i项工作前有好几个完成时间段，取最大者。）

最晚时间： 从后往前计算到达节点所需的最小时间。（必须要在最小时间点完成，否则会耽误总时间。）

关键顶点： 最晚时间等于最早时间的节点。
最晚时间若是大于最早时间，意味着，该项任务的完成时间具有弹性。
最晚时间若是等于最早时间，意味着，该项任务是关键任务，必须准时完成。

关键节点连接起来的路径就是关键路径，想要提高整个活动的完成时间，就要想办法加快关键路径上事件的完成时间。

参考书籍：《图解数据结构–使用Python》
部分代码请点击