基础数论算法（八） 矩阵乘法与线性齐次递推公式的快速求值
矩阵乘法可是zhx钦定说考的可能性挺大的东西！
矩阵乘法
一个n*m的矩阵乘一个m*p的矩阵会得到一个n*p的矩阵。
因此有一道区间dp模板叫矩阵链乘法，不过这个不是重点。
矩阵乘法如果要简单的说，就是行乘每一列放在对应的行上。这么说可能不太清楚，不过我觉得代码比一堆 ∑ 清晰的多。
void multi(int m,int n,int p){
for(int i=0;ifor(int j=0;jfor(int k=0;k 特征根方程
为什么要提特征根方程？因为觉得很有趣如果解出来是整数说不定可以少些五行矩阵乘法。
对于f(n)=af(n-1)+bf(n-2)这种递推公式，我们可以用特征根方程求出通项。顺便一提，这种方法写大题的时候不能用，老老实实待定系数吧。
首先，把原通项写成f(n)-af(n-1)-bf(n-2)=0的形式。
接下来，解一个方程： x2−ax−b=0 ，假设解为 x1,x2
那么我们称这两个解是这个数列的特征根。
这里要注意，如果无实数解，那么这个数列一般是具有周期性的。
如果 x1≠x2 ，那么 an=c1xn1+c2xn2 ，其中 c1,c2 带进去两个数就知道了。
例如：f(n)=2f(n-1)+3f(n-2),f(1)=5,f(2)=7
x2−2x−3=0⇒x1=3,x2=−1
∴f(n)=3nc1+(−1)nc2
∴{3c1−c2=59c1+c2=7
解之得 c1=1,c2=−2
故 f(n)=3n−2(−1)n ，要求的话带个快速幂美滋滋。
不过问题还是有的。一个是 x1=x2 的情况很糟心，一个是如果我们的特征根是无理数，而且要求一个很大的数取模，那么这种方法就会不适用。因此我们必须提出用矩阵乘法写的普适性更强的做法。
用矩阵乘法优化的线性齐次递推公式求值
首先我们来看一个神奇的东西。
对斐波那契数列，
(fn,fn−1)⋅(1110)=(fn+1,fn)
这样的话我们可以在常数时间内求出这个通项的下一项。而如果要求第n项，就相当于对这个矩阵进行幂运算。
有没有想到些什么？没错，见幂就开始快速幂。复杂度logn，比线性求不知道高到哪里去了。
那么能不能进一步推广？当然可以。
如果 f(n)=a1f(n−1)+a2f(n−2)+...+akf(n−k)
那么显然，
(fn,fn−1,...,fn−k+1,fn−k)⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜a1a2...ak−1ak10...0001...00...............00...0000...10⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
(fn+1,fn,...,fn−k+2,fn−k+1)
是不是非常神奇？这样就可以用矩阵快速幂了。代码就不放了……