计算几何之线段性质（二）：求线段交点

求线段的交点即求线段交点的坐标。若已确定两线段相交，可以通过解析几何中的直线方程来求解交点，这里介绍另外的一种方法。叉积multi（p1,p2,p0）可以看做是由点P1，P2，P0和P1+P2,这四个点围成的平行四边形的面积（如下图所示），及三角形P0P1P2的面积S=1/2 multi（P1，P2，P0）

在下图中，线段AB和CD相交于点P。

我们分别从D点和C点做AB的垂线DD1和CC1，由于△DD1P∽△CC1P，因此我们有|DD1| / |CC1|=|DP| / |CP|。又因为S△ABD=DD1*AB/2，S△ABC=CC1*AB/2，所以：

|DP| / |CP|=S△ABD/S△ABC=|AD × AB| / |AC × AB|=|multi（D,B,A）| / |multi（C,B,A）|

又因为|DP| / |CP|=（XD-XP）/（XP-XC）=（YD-YP）/（YP-YC）

所以有：

XP=（S△ABD * XC + S△ABC * XD）/（S△ABD + S△ABC）

    =（multi（D,B,A）* XC - multi（C,B,A）* XD）/（multi（D,B,A）- multi（C,B,A））

YP=（S△ABD * YC + S△ABC * YD）/（S△ABD + S△ABC）

    =（multi（D,B,A）* YC - multi（C,B,A）* YD）/（multi（D,B,A）- multi（C,B,A））

由此得出计算线段u和v交点的算法，参考代码如下：

#include 
using namespace std;
typedef struct node
{
    double x,y;
}point;
typedef struct line
{
    point start,end;
}segment;
double multi(point p1,point p2,point p0)
{
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
point intersection(segment u,segment v)
{
    point p;
    p.x=(multi(v.end,u.end,u.start)*v.start.x-multi(v.start,u.end,u.start)*v.end.x)/(multi(v.end,u.end,u.start)-multi(v.start,u.end,u.start));
    p.y=(multi(v.end,u.end,u.start)*v.start.y-multi(v.start,u.end,u.start)*v.end.y)/(multi(v.end,u.end,u.start)-multi(v.start,u.end,u.start));
    return p;
}
int main()
{
    segment u,v;
    scanf("%lf%lf%lf%lf",&u.start.x,&u.start.y,&u.end.x,&u.end.y);
    scanf("%lf%lf%lf%lf",&v.start.x,&v.start.y,&v.end.x,&v.end.y);
    point p=intersection(u,v);
    printf("%lf  %lf\n",p.x,p.y);
    return 0;
}