[GDKOI2016] 小学生数学题

Description

求 ∑ni=11imodpk 。

Constraint

p≤105
pk⋅n≤1018

Analysis

首先，给出一条性质

a⇔ac≡b(modp)≡bc(modpc)

具体证明非常简单，只要考虑到

aac=kp+b=k(pc)+(bc)

那用处就是

amodp=bacmodpc=bc=(amodp)c

那这道题我们借鉴计算阶乘时的思想，提取出 p 整除的数。

Solve(n,k)=∑i=1n1imodpk=⎛⎝⎜⎜1p∑i=1⌊np⌋1i+∑0<a<pa+bp≤n1a+bp⎞⎠⎟⎟modpk

然后我们分开考虑这两部分，先考虑第一部分，利用上性质(1)(2)，可以得到

1p∑i=1⌊np⌋1imodpk=1p∑i=1⌊np⌋1imodpk=(∑1ipmodpk)⋅pp=(p(∑1ipmodpk))⋅1p=(∑1imodpk+1)⋅1p=Solve(⌊np⌋,k+1)⋅1p

递归求解即可，现在考虑第二部分

∑0<a<pa+bp≤n1a+bp=∑a=1p−1∑b=0⌊n−ap⌋1a+bp=∑a=1p−1∑b=0⌊n−ap⌋11+bpa⋅1a=∑a=1p−11a∑b=0⌊n−ap⌋11−(−bpa)=∑a=1p−11a∑b=0⌊n−ap⌋∑i=0∞(−bpa)i=∑a=1p−11a∑b=0⌊n−ap⌋∑i=0∞(−pa)i⋅bi=∑a=1p−11a∑i=0k−1(−pa)i∑b=0⌊n−ap⌋bi

这里就是自然数幂求和，用 [2k×2k] 的矩阵，
一次求出所有 i 的 Si 。

时间复杂度： T(n,k)=T(np,k+1)+k3+kp=(k3+kp)lognp 。