最短路径(Dijkstra法)

最短路径(Dijkstra法)

    Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是
    以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

算法思想

    按路径长度递增次序产生算法：

    把顶点集合V分成两组：
    （1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
    （2）V-S=T：尚未确定的顶点集合

    将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
    （1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
    （2）每个顶点对应一个距离值

    S中顶点：从V0到此顶点的长度
    T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度

算法步骤

        1. G={V,E}，初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
            若存在，d(V0,Vi)为弧上的权值
            若不存在，d(V0,Vi)为∞
        2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中
        3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值
        4. 重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

算法实现

#include 
#include 
using namespace std;
#define MAX_NUM 10000
//MAX_NUM表示没有路径，即无穷大，如果设定为INT_MAX，会出现溢出情况，因此该值可根据情况改变
#define VRType int
#define VertexType int
#define MAX_VERTEX_NUM 30

typedef struct{
    VertexType vex[MAX_VERTEX_NUM];
    VRType edges[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
    int vexnum,arcnum;
}MGraph;

void CreatMGraph(MGraph &G, int n)
{
    G.vexnum = n;
    for(int i = 0; i < G.vexnum; i++){
        G.vex[i] = i;
        for(int j = 0; j < G.vexnum; j++){
            cin>>G.edges[i][j];
            if(!G.edges[i][j])
                G.edges[i][j] = MAX_NUM;
        }
    }
}

void Dijkstra(MGraph G, VRType v, int distance[], int path[]){
//diatance数组表示当前已找到的从v0到每个终点vi点的距离
//path数组中保存从v0到vi最短路径上vi的前一个顶点
//visit数组跟图的两种遍历中的一样，这里是判断是(1)否(0)找到从vo到vi的最短路径
    int i, j, k, min;
    int visit[MAX_VERTEX_NUM] = {0};
    k = v;
    visit[k] = 1;
    path[k] = -1;
    for(i = 0; i < G.vexnum; i++){
        if(!visit[i]){
            distance[i] = G.edges[k][i];
            if(distance[i] < MAX_NUM)
                path[i] = k;
        }
    }
    for(i = 1; i < G.vexnum; i++){
        min = MAX_NUM;
        for(j = 0; j < G.vexnum; j++)
            if((distance[j] < min) && (!visit[j])){
                min = distance[j];
                k = j;
            }
        visit[k] = 1;
        for(j = 0; j < G.vexnum; j++)
            if((!visit[j]) && ((distance[k] + G.edges[k][j]) < distance[j])){
            //先判断是否找到该点的最短路径，如果没有，则判断从k点到i点的距离和是否小于distance[j]
                distance[j] = distance[k] + G.edges[k][j];
                path[j] = k;
            }
    }
}

int main()
{
    int n;
    MGraph g;
    cin>>n;
    CreatMGraph(g, n);
    int distance[MAX_VERTEX_NUM] = {0};
    int path[MAX_VERTEX_NUM];
    Dijkstra(g, 0, distance, path);     //假设从v = 0
    cout<<"  Vertex:";
    for(int i = 0; i < g.vexnum; i++)
        cout<' ';
    cout<cout<<"Distance:";
    for(i = 0; i < g.vexnum; i++)
        cout<' ';
    cout<return 0;
}