【算法笔记】数论基础：康托展开（全排列和序号之间的映射）

参考博客：https://blog.csdn.net/Hi_KER/article/details/81263889 

康托展开解决的两个问题：

• 正康托展开：给出一个全排列的序列，求该序列是第几个全排列的序列。

           如初始序列1234，那么3214是第15个全排列的序列

• 逆康托展开：给出数字k，求全排列序列中的第k个序列是什么。

           如初始序列1234，第15个全排列的序列为3214

康托展开是为了解决全排列和序号之间的映射问题，对于全排列，可以通过next_permutation(a,a+n)（或者pre_permutation(a,a+n))去求解，当然也可以自己写一个递归回溯函数求解。

 

正康托展开

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给定n=4,序列：3214，求该排列字典序？

第一位为3，则当第一位为1,2时生成的排列比目标排列小，有所以2*3！种；

第二位为2，当第二位为1是生成的排列更小，有1*2！种；

第三位为1，没有比1更小的排列方法，有0*1！种

第四位为4，由于1,2,3，在前面已经使用了，使用没有比4更小的了，有0*0！种

使用总共有2*3！+1*2！+0*1！+0*0！=14种排列方法比目标排列字典序小，则目标排列字典序为15（不要忘记加一）

公式：

其中k[i]表示对于第i位的a[i]，a[i+1]到a[n]种比a[i]小的数字的个数

实现代码：

	cin>>n;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)//预处理阶乘 
		fac[i]=fac[i-1]*i;
	int ans=1;//注意 
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int k=0;//统计比a[i]小且没有用过的数字 
		for(int j=i+1;j<=n;j++) if(a[j]

 

逆康托展开

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求有4位的全排列中，字典序序数为15的序列？

先把15减1，表示有14个排列比目标序列字典序小

考虑第一位：14 / 3!  = 2 ... ... 2 说明比第一位小的数有2个（算式第一个2表示的意义），所以第一位为3

考虑第二位：2  / 2!  = 1 ... ... 0  说明在第二位之后且小于第二位的数有1个，所以第二位为：2

考虑第三位： 0 / 1!  = 0 ... ... 0 说明在第三位之后且小于第三位的数没有，所以第三位为：1

考虑第四位：1,2,3，都使用了所以为4

实现代码：

	bool vis[maxn];//表示数字是否使用了
	memset(vis,0,sizeof(vis)); 
	cin>>n>>k; 
	fac[0]=1;
	for(int i=1;iq) break;
		}
		a[i]=j;
		vis[j]=true;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<