关于全概率和贝叶斯公式的使用场景说明

1.全概率公式：首先建立一个完备事件组的思想,其实全概就是已知第一阶段求第二阶段,比如第一阶段分A、B、C三种,然后A、B、C中均有D发生的概率,最后让你求D的概率
P(D)=P(A)*P(D|A）+ P(B)*P(D|B）+ P(C)*P(D|C）
2.贝叶斯公式：其实原本应该叫逆概公式,为了纪念贝叶斯这样取名而已.在全概公式理解的基础上,贝叶斯其实就是已知第二阶段反推第一阶段,这时候关键是利用条件概率公式做个乾坤大挪移,跟上面建立的A、B、C、D模型一样,已知P(D),求是在A发生下D发生的概率,这就是贝叶斯
P(A|D)=P(AD)/P(D)=P(A)*P(D|A)/P(D)

例题：甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%。

问题：（1）甲乙同时射击，求命中率；

           （2）甲乙先取一人，由其射击，求命中率；

           （3）甲乙先取一人，由其射击，已知目标被命中，求是甲命中的概率。

解：

设 事件A={甲中}，事件B={乙中}，事件C={命中}。P(A)=50%,P(B)=60%,C=A+B

（1）P(C) = P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 0.8;

（2）令A1 = {选甲}，A2 = {选乙}，则 P(A1)=1/2,P(A2)=1/2;

         P(C) = P(A1)P(C|A1) + P(A2)P(C|A2) =  0.55

（3）P(A1|C) = P(A1C)/P(C) = P(A1)P(C|A1)/P(C) = P(A1)P(C|A1)/[P(A1)P(C|A1) + P(A2)P(C|A2)]

注：一个问题分了两步，如果解决第二步，求第二步的概率要使用全概率公式；而要解决第一步的概率，要使用贝叶斯公式。