Catalan 数--pku ACM 2084【待解决】

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  先来看看CATALAN数是怎么定义的。（http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/2/2_11.htm）

2.11 Catalan 数 

    这一节讨论Catalan数,其递推关系是非线性的,许多有意义的计数问题都导致这样的递推关系.本节将举出一些,后面还将见到. 

    一个凸n边形,通过不相交于n边形的对角线,把n边形拆分成若干三角形,不同拆分的数目用h_n表示.例如五边形有如下五种拆分方案，故h_n=5

       

        图 2-11-1 

1.递推关系 

    定理： 

       

        

    证明：

    （a）的证明： 如图2－11－1所示， 以v₁v_n+1作为一个边 的三角形 ， 将凸n+1边形分割 成两部分，一部分是 k边形， 另一部分是n-k+2边形，k=2,3,^...,n即v_k点可以是v₂,v₃,^...,v_n点中任意一点。依据加法法则有 

        

       

       

        图 2－11－3 

    (b) 的证明： 如图2－11－3所示， 从v₁点向其它n-3个顶点(v₃,v₄,^...,v_n-1)可引出n-3条对角线。对角线v₁v_k把n边形 分割成两个部分，因此 以v₁v_k对角线作为拆分线的方案数为h_kh_n-k+2。

       

   v_k可以是v₃,v₄,^...,v_n-1中任一点，对所有这些点求和得h₃h_n-1+h₄h_n-2+^...+h_n-2h₄+h_n-1h₃

   以v₂,v₃,^...,v_n取代 点也有类似的结果。但考虑到对角线有两个顶点，同一对角线在两个顶点分别计算了一次，作 

       

（2－11－3）式并不就给出剖分数，无疑其中是有重复的。其重复度是由于一个凸n边形的剖分有n-3条对角线，而对其每一条边计数时该剖分都计数了一次，故重复了n-3次即（2－11－3）式给出的结果是h_n的n-3倍。 

       

（2－11－1）式和（2－11－2）式都是非线性的递推关系。 

2.Catalan 数计算公式 

    由（2－11－1）式及h₂=1故得 

       

由 

       

整理得 

       

       

令