【科普】量子计算通识-5-哈达玛门与单位圆状态机

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以下内容参照微软研究院主题演讲《Quantum Computing for Computer Scientists(计算机科学家量子计算导读)》的结构进行整理和扩充的。
本篇是第五部分。上一篇【科普】量子计算通识-4

Hadamard Gate

在前面的文章中我们讲到,无论是矢量化的经典比特cbit还是量子比特,各种门操作都可以表示成与一个特殊矩阵相乘,比如NOT非门就可以表示成:

同样可控非门CNOT也可以表示成:
C|10>= \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}\end{pmatrix}=|11>

Hadamard哈达玛门也是类似,它是针对单个比特进行操作,公式是:

H(|0>)= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}

H(|1>)= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}

从含义上理解这个过程,那就是我们把一个经典的确定的比特位|0>或|1>变为了不确定的量子位。因为如果我们对它们进行测量(求平方)计算,那么就可以看到:

注意这里比特的含义是一个硬币的非正即反,那么测量结果1就表示正面,而0.5表示什么?50%可能是正面,50%可能是反面。这是什么意思?这就是薛定谔的半死半活猫。我们的数据进入了Superposition叠加态!

Hadamard门可以把一个矢量化的经典比特cbit变为量子叠加态的qbit。

但为什么是都乘以根号二分之一的矩阵,不是其他矩阵呢?因为这个与这个矩阵相乘是可逆的!我们来看把一个cbit乘以这个矩阵两次,也就是连续做两次Hadamard门操作会怎样?

H(|1>)= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}

第二次:
H\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=|1>

Hadamad门是自身的逆操作。从这里我们也可以看出,对用Hadamard门连续操作两次,我们就实现了将一个cbit转到qbit再转回cbit,而且中间没有执行任何测量操作。这代表着我们可以在量子叠加态下进行操作!

单位圆状态机

我们先看一下NOT非门对于qbit的操作:

NOT门其实就是把量子位的上下颠倒,就是颠倒是非的作用
那么下面这个NOT门的单位圆状态机就好理解了:

【科普】量子计算通识-5-哈达玛门与单位圆状态机_第1张图片
NOT非门操作单个量子位

单位圆上面的点和其对应的非门NOT结果点,总是呈左上到右下的135度方向。

我们再看Hadamard门操作单位圆上单个量子位的结果关系图:

【科普】量子计算通识-5-哈达玛门与单位圆状态机_第2张图片
Hadamard门操作单个量子位

单位圆上面的点和其对应的哈达玛门操作结果点,总是呈左上到右下的112.5度(90+45/2)。

我们可以利用这两个单位圆状态机来快速计算一些量子操作。我们用X表示NOT门,用H表示哈达玛门,那么就有:

【科普】量子计算通识-5-哈达玛门与单位圆状态机_第3张图片
非门与哈达玛门联合操作

注意这里,尽管非门和哈达玛门都是可逆的运算,连续两次非门或者连续两次哈达玛门都没意义,但是如果2次非门和2次哈达玛门交替操作,结果却会大不相同,如上图所示两非两哈交替操作之后(1,0)变成了(0,-1)

在这里,单位圆状态机是针对实数的(有理数和无理数),如果要针对复数(实数和虚数)来做的话,那就需要用一个球来表示了。

小结

  • 经典比特cbit是量子比特qbit的特殊情况,其实就是个二元向量。
  • 量子比特qbit可以处于亦正亦反的叠加状态Superposition。
  • 叠加态的量子比特可以通过测量Measure求平方得到坍塌结果。
  • 可以用矩阵来操作量子比特,因为量子比特本身就是矢量矩阵。
  • 哈达玛Hadamard门可以把0或1的矢量位变为叠加态,或者再变回来。
  • 可以利用图形化的单位量子状态机来进行简单比特运算。

下一篇我们开始介绍多伊奇乔扎算法。

下一篇:【科普】量子计算通识-6


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