初学计算几何（一）——点与向量·叉积与点积
前言
计算几何应该是一个比较复杂的东西吧，它的应用十分广泛。为此，我花了很长的时间来学习计算几何。
点与向量
点
点应该还算比较简单吧！对于平面上的一个坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y)的点，我们可以用 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)来表示它。
向量
向量表示的是一个有大小和方向的量，在平面坐标系下它与点一样也用两个数来表示。这两个数的实际含义是将这个向量的起点移至原点后终点的坐标。通常，我们用 v ⃗ \vec v v来表示一个向量，用 ∣ v ⃗ ∣ |\vec v| ∣v∣来表示向量 v ⃗ \vec v v的长度。
点与向量的基本定义与运算
虽然点与向量十分相像，但是它们在概念上还是有许多不同的。
下面是它们的基本定义与运算。
struct Point//一个结构体用来存储一个点
{
double x,y;//分别存储点的两个坐标
Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}//构造函数
};
typedef Point Vector;//向量在代码中其实与点差不多，因此可以直接typedef一下
inline Vector operator + (Vector A,Vector B) {return Vector(A.x+B.x,A.y+B.y);}//向量+向量=向量
inline Vector operator - (Point A,Point B) {return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);}//点-点=向量
inline Vector operator * (Vector A,double x) {return Vector(A.x*x,A.y*x);}//向量*一个数=向量
inline Vector operator / (Vector A,double x) {return Vector(A.x/x,A.y/x);}//向量/一个数=向量
点积
下面，先来介绍一下向量的点积。
点积的计算公式及其扩展
v ⃗ ( X 1 , Y 1 ) ⋅ u ⃗ ( X 2 , Y 2 ) = X 1 X 2 + Y 1 Y 2 \vec v(X_1,Y_1)·\vec u(X_2,Y_2)=X_1X_2+Y_1Y_2 v(X1,Y1)⋅u(X2,Y2)=X1X2+Y1Y2
对于两个向量 v ⃗ \vec v v和 u ⃗ \vec u u，如果它们的夹角为 θ \theta θ，则它们的点积就等同于 ∣ v ⃗ ∣ ∣ u ⃗ ∣ c o s θ |\vec v||\vec u|cos \theta ∣v∣∣u∣cosθ。
既然这样，我们就可以推导出以下公式：
向量的长度： v ⃗ ⋅ v ⃗ \sqrt {\vec v·\vec v} v⋅v（因为对于两个相同的向量， c o s θ = 0 cos\theta=0 cosθ=0，因此 v ⃗ ⋅ v ⃗ = ∣ v ⃗ ∣ ∣ v ⃗ ∣ = ∣ v ⃗ ∣ 2 \vec v·\vec v=|\vec v||\vec v|=|\vec v|^2 v⋅v=∣v∣∣v∣=∣v∣2）
向量的夹角： a c o s ( v ⃗ ⋅ u ⃗ / ∣ v ⃗ ∣ / ∣ u ⃗ ∣ ) acos(\vec v·\vec u/|\vec v|/|\vec u|) acos(v⋅u/∣v∣/∣u∣)（因为 v ⃗ ⋅ u ⃗ / ∣ v ⃗ ∣ / ∣ u ⃗ ∣ = c o s θ \vec v·\vec u/|\vec v|/|\vec u|=cos\theta v⋅u/∣v∣/∣u∣=cosθ，所以 θ = a c o s ( v ⃗ ⋅ u ⃗ / ∣ v ⃗ ∣ / ∣ u ⃗ ∣ ) \theta=acos(\vec v·\vec u/|\vec v|/|\vec u|) θ=acos(v⋅u/∣v∣/∣u∣)）
以下是代码实现：
inline double Dot(Vector A,Vector B) {return A.x*B.x+A.y*B.y;}//点积
inline double Len(Vector A) {return sqrt(Dot(A,A));}//向量的长度等于sqrt(A,A)
inline double Ang(Vector A,Vector B) {return acos(Dot(A,B)/Len(A)/Len(B));}//向量的夹角等于acos(A·B/|A|/|B|)
点积的正负
该如何判断两个向量的点积的正负呢？
点积的正负是由两个向量的夹角 θ \theta θ所决定的。
- 当 θ < 9 0 。 \theta<90^。 θ<90。时，点积为正。
- 当 θ = 9 0 。 \theta=90^。 θ=90。，即两个向量垂直时，点积等于 0 0 0
- 当 θ > 9 0 。 \theta>90^。 θ>90。时，点积为负。
其他
点积还有一个很重要的性质，就是点积满足交换律。
叉积
叉积与点积是十分类似的。
叉积的计算公式及其扩展
v ⃗ ( X 1 , Y 1 ) × u ⃗ ( X 2 , Y 2 ) = X 1 Y 2 − Y 1 X 2 \vec v(X_1,Y_1)×\vec u(X_2,Y_2)=X_1Y_2-Y_1X_2 v(X1,Y1)×u(X2,Y2)=X1Y2−Y1X2
叉积有一个十分神奇的性质，就是 v ⃗ × u ⃗ \vec v×\vec u v×u恰好等于这两个向量组成的三角形的有向面积的 2 2 2倍。
这样，我们就能轻松求出两个向量组成的三角形的面积了：
两个向量组成的三角形的面积： v ⃗ × u ⃗ 2 \frac {\vec v×\vec u} 2 2v×u
以下是代码实现：
inline double Cro(Vector A,Vector B) {return A.x*B.y-A.y*B.x;}//叉积
inline double Area(Vector A,Vector B) {return Cro(A,B)/2;}
叉积的正负
叉积的正负是由两个向量的位置关系决定的。
- 当 w ⃗ \vec w w在 v ⃗ \vec v v左边时， v ⃗ × u ⃗ \vec v×\vec u v×u为正。
- 当 w ⃗ \vec w w在 v ⃗ \vec v v右边时， v ⃗ × u ⃗ \vec v×\vec u v×u为负。
- 如果 w ⃗ \vec w w与 v ⃗ \vec v v方向相同，则 v ⃗ × u ⃗ \vec v×\vec u v×u为 0 0 0。
其他
叉积是不满足交换律的， v ⃗ × u ⃗ = − u ⃗ × v ⃗ \vec v×\vec u=-\vec u×\vec v v×u=−u×v。
其他运算
点与向量还有一些比较基本的运算，下面就直接贴代码了。
旋转
inline Vector Rotate(Vector A,double rad) {return Vector(A.x*cos(rad)-A.y*sin(rad),A.x*sin(rad)+A.y*cos(rad));}//将向量A旋转rad度
求法线
inline Vector Normal(Vector A) {double len=Len(A);return Vector(-A.y/len,A.x/len);}//求向量A的单位法线