计算机科学与Python编程导论_MIT 学习笔记（三）

while 循环的工作过程
1 bool检验
2 如果bool检验为真，执行循环体
3 返回bool检验
4 直到bool检验为假，停止循环，执行循环体外的程序

while 循环的必要组件
1 在循环之前设置迭代变量
2 在bool检验中检验迭代变量
3 在循环体中改变迭代变量的值

编程思路：以求立方根为例
设置ans作为猜测，从0开始猜，直到ans**3>给定值，然后结束循环，判断最后的ans是否等于给定值**3.

x=int(input())
ans=0
while ans**31
if ans**3==x:
    print(str(x)+"'s root is "+str(ans))
else:
    print(str(x)+' has no root')

算法思路：构建一个递减函数，描述猜测值与目标值之间的差距，通过循环，是差距不断变小，当差距大于等于零时，结束循环。
在上面的例子中，该函数为 ans∗∗3−x 。

这种猜测检查算法对有限可能的问题有效，这种穷举法穷举值域中的每个数。

for 循环的结构

for 循环的工作过程
1 标识符绑定到序列的第一个值
2 执行循环体
3 标识符绑定到序列的第二个值
4 执行循环体
5 重复直到标识符绑定到序列的最后一个值，并且执行完循环体，结束
6 或者中途遇到break，结束（跳出）循环

制作for循环中的序列：
range(m,n)=[m,m+1,…,n−1]
range(n)=[0,1,2,…,n−1] *即上式中m等于0。

例：求整数的立方根

x=int(input())
for i in range(abs(x)+1):
    if i**3==abs(x):
        break
if i**3!=abs(x):
    print(str(x)+' has no root')
else:
    if x<0:
        print(str(x)+"'s root is -"+str(i))
    else:
        print(str(x)+"'s root is"+str(i))

for 循环利用值域（range）实现了穷举

例：将十进制整数转化为二进制数（注意python3.X中‘//’才是对正常除法结果向下取整）

x=int(input())
if x<0:
    neg=True
    x=-x
else:
    neg=False
if x==0:
    print(0)
result=''
while x>0:
    result=str(x%2)+result
    x=x//2
if neg:
    print('-'+result)
else:
    print(result)

例：将十进制浮点数转化为二进制数（注意python3.X中‘//’才是对正常除法结果向下取整）

x=float(input())
p=0
while (2**p)*x%1!=0:
    p+=1
    print((2**p)*x-int((2**p)*x))

num=int((2**p)*x)

result=''
while num>0:
    result=str(num%2)+result
    num=num//2

for i in range(p-len(result)):
    result='0'+result
    print(result)

print(str(x)+'='+result[0:-p]+'.'+result[-p:])

上个例子的启示：
1 若没办法在一定位数内找到某个浮点数的二进制等价，系统会采用近似的方法来替代
2 所以在比较两个浮点数是否相等时，最好用相减小于一个足够小的数，而不是用==

例：用浮点数近似立方根

x=float(input())
epsilon=0.01
step=epsilon**2
ans=0.0
count=0
while (abs(ans**2-x))>=epsilon and ans<=x:
    ans+=step
    count+=1
print(count)
if abs(ans**2-x)>=epsilon:
    print('fail')
else:
    print(str(x)+"'s root is close to "+str(ans))

例：二分法求方根

x = 25
epsilon = 0.01
count=0
low=0.0
high=float(x)
ans=(low+high)/2

while abs(ans**2-x)>=epsilon:
    count+=1
    if ans**2>x:
        high=ans
    else:
        low=ans
    ans=(low+high)/2


print(ans,count)

二分法的启示：
1 从根本上缩短循环次数
2 适用于有优先次序的问题，如求方根，g**2随g的增大而增大

牛顿拉夫逊算法
在求多项式p的根时，对于猜测g，一个更好的猜测是：

g=g−p(g)p′(g)

例：用牛顿拉夫逊算法求方根

x = float(input())
epsilon=0.01
ans=x/2.0
count=0
while abs(ans**2-x)>=epsilon:
    ans=ans-(((ans**2)-x)/(2*ans))
    count+=1

print(ans,count)