【jzoj3221】【HNOI2013】【游走】【高斯消元】【期望】

题目大意

一个无向连通图，顶点从1 编号到N，边从1 编号到M。

小Z 在该图上进行随机游走，初始时小Z 在1 号顶点，每一步小Z 以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z到达N 号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。

现在，请你对这M 条边进行编号，使得小Z 获得的总分的期望值最小。

解题思路

考虑每一个点期望经过的次数，可以列出方程组，使用高斯消元求解。再求出每条边期望经过的次数，再贪心地编号即可。

code

#include
#include
#include
#include
#define LF double
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define fr(i,j) for(int i=begin[j];i;i=next[i])
using namespace std;
int const mn=500+9,mm=2.5*1e5+9,inf=1e9+7;
int n,m,map[mn][mn],du[mn],uu[mm],vv[mm];
LF b[mm],a[mn][mn],f[mn];
int main(){
    freopen("d.in","r",stdin);
    freopen("d.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,1,m){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        map[u][v]++;
        map[v][u]++;
        du[u]++;
        du[v]++;
        uu[i]=u;vv[i]=v;
    }
    a[1][1]=a[1][n+1]=a[n][n]=1;
    fo(i,1,n-1){
        a[i][i]=1;
        fo(j,1,n)if(i!=j)a[i][j]=-1.0*map[i][j]/du[j];
    }
    fo(i,1,n){
        if(!a[i][i]){
            fo(j,i+1,n)if(a[j][i]){
                fo(k,1,n+1)swap(a[i][k],a[j][k]);
                break;
            }
        }
        fo(j,i+1,n)if(a[j][i]){
            LF tmp=a[j][i]/a[i][i];
            fo(k,i,n+1)a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
        }
    }
    fd(i,n,1){
        f[i]=a[i][n+1];
        fo(j,i+1,n)f[i]-=a[i][j]*f[j];
        f[i]/=a[i][i];
    }
    fo(i,1,m)b[i]=f[uu[i]]/du[uu[i]]+f[vv[i]]/du[vv[i]];
    sort(b+1,b+m+1);
    LF ans=0;
    fo(i,1,m)ans+=b[i]*(m-i+1);
    printf("%.3lf",ans);
    return 0;
}