数位DP专题

数位DP专题

通过做题总结出两种方法

1、根据相邻数位之间的关系递推

Dp[i][j]  以j开头的i位数中所含答案的数量。
可以通过递推先预处理好，然后再分情况统计。
一般可以分两种情况统计：

1、最高位不达到上限，每一位可以取任意值
Ans+=dp[len][i]   i = [ 0 , digit[len]-1 ]

Tips：如果前导零会对答案造成影响，应该将这一类分为长度为len和长度小于len两种统计(lightoj 1140)，其实这里最好分为两类统计不容易出错，只是这样算0不会被考虑进去。
1)i = 1 to len-1
  j = 1 to 9  ans+=dp[i][j]
2)i = 1 to digit[len]-1 ans+=dp[len][i] 

2、最高位达到上限
从最高位开始，每次固定一个数位，然后统计以前面已经固定的数位开头的范围内所含答案的个数。
For( int i = len-1; i >= 1; i-- )
For( int j = 0; j 




1、hdu 2089 统计不含62和4的个数

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50899468

2、HDU 3555 含”49”的个数

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50899727

3、UESTC 250 windy数

题目：http://acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/250

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50902108

4、Lightoj 1032

题目：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=25909

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50925908

5、Lightoj 1140 

题目：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=26854

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50925886

6、UVALive 6527 Counting ones

题目：https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4538

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50925549

2、数位DP通用方法，dfs+记忆化

/*
pos表示当前dfs到第几层，dfs到第0层就结束
flag表示是否选取数位到范围上界，如果达到上界那么就有一些数位不能随意选取
state表示当前状态，不同的问题涉及到的状态不一样 
*/ 

int dfs(int pos , int state , bool flag) 
{
	if ( pos == 0 ) return check(state);
	if ( !falg && dp[pos][state] != -1 ) return dp[pos][state];
	int ed = flag?bit[pos]:9;
	int ans = 0;
	for( int i = 0; i <= ed; i++ )//枚举当前位可以取的数 
	{
		ans+=dfs( pos - 1 , nextstate(state) , flag && i == ed );//统计答案 
	}
	if ( !flag ) dp[pos][state] = ans; //记录答案，下次碰到这种情况直接输出即可 
	return ans;
}

这里举两个简单的例子

1、是否含一个数，例如”13”。
在dfs中记录上一位是什么数，在当前位分类讨论。
Dp[i][id] 分为3类
Dfs(int pos , int id , ......)
Dp[i][0] 当前从最高位dfs到第i位，且之前不含”13”，也不是以1结尾的
Dp[i][1] 之前不含”13”，是以1结尾的
Dp[i][2] 包含”13”
这样我们dfs的时候根据之前的id进行判断。
如果id=0 且当前位枚举的数为1 那么就是以1结尾了，dfs(pos-1 , 1...)
如果id=1 且当前位枚举的数不为1、3 那么就dfs(pos-1 ,0...)
如果id=1 且当前位枚举的数为3 那么就是含”13”，dfs(pos-1 , 2...)
最后判断id==2即可。
同理判断不含”13”更简单，只需要分为以1结尾或者不以1结尾，如果是以1结尾那么下一位就不可以为3，dfs到最后一层直接返回1即可，因为不合法的情况中途就排除掉了。

2、数位之和被k整除或数被k整除
Dfs记录经过位的每一位之和或者带权和
Dfs(int pos , int yu1 , int yu2 ....)  yu1表示各个数位之和mod k，yu2表示各个数位带权之和mod k，用来判断这个数是否被k整除。
转移时dfs(pos - 1 , (yu1+i)% k , ( yu2 * 10 + I )% k , ....)
对于第二个，假设现在有整数abcd，判断abcd是否能被k整除
abdc % k = a*10^3 % k + b*10^2 % k + c*10 % k + d % k
        = ((( ( a ) * 10 + b ) * 10 + c ) * 10 + d )%k  
        =  ((( ( a )%k * 10 + b )%k * 10 + c )%k * 10 + d )%k 
在最后判断余数是否为0即可。

1、Hdu 3652  含”13”且能被13整除

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3652

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50901994

2、Lightoj 1068  被k整除且数位和被k整除

题目：http://lightoj.com/login_main.php?url=volume_showproblem.php?problem=1068

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50903267

3、HDU 4507

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4507

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50910401

4、POJ 3252 

题目：http://poj.org/problem?id=3252

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50915580

5、Hdu 4734  f(x)   

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50902929

6、SPOJ BALNUM Balanced Numbers

题目：http://www.spoj.com/problems/BALNUM/en/

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50925663

7、Lightoj 1205 回文数

题目：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=26917

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50929603

8、Hdu 3709 平衡数

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50902064

9、CodeForces 55D Beautiful numbers 

题目：http://codeforces.com/problemset/problem/55/D

题解：http://blog.csdn.net/chy20142109/article/details/50929689