LightOJ1038 C - Race to 1 Again (概率dp)

题意

给你一个数，这个数每次除以它的因子（可以是1或本身），就会变成一个更小的数，

问将这个数变成1的期望次数。

题解

对于一个数，如25，它有1 5 25三个因子，它若操作一次，一定可以成为它的某个因子。

因此是它的期望=它的因子期望次数平均值+1，

这里计因子个数为num[]，右边也有dp[25]我们移到左边。

则dp[25]=(dp[1]+dp[5]+dp[25])/num[25]+1

即dp[25]*num[25]=dp[1]+dp[5]+dp[25]+num[25]

dp[25]=(dp[1]+dp[5]+num[25])/(num[25]-1)

即dp[i]=(sum[i]+num[i])/(num[i]-1)

我们这里采用筛法，即找到一个数i就求出它的dp[i]，并对它的倍数都加上dp[i]，且其因子数+1

这样当求到j>i的时候，dp[j]内已经加过所有它的因子的dp值了，即dp[j]当前等于sum[j]

那么，递推式就直接写作dp[i]=(dp[i]+num[i])/(num[i]-1)即可。

心得

对于dp[2]=2这种情况，

我们可以理解为1/2概率抽1,1/2概率抽2，

认为抽2成功而抽1失败，这样就是几何分布，E(ε)=1/(1/2)=2

但这里，很好的用递推式dp[2]=(dp[1]+dp[2])/2+1解决了这一递归情况。

不得不说，dp还是强呀。

代码

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