第3章 动态规划 矩阵连乘问题

两个矩阵相乘的计算量

程序实现

//矩阵a和b相乘，p、q分别为a的行和列，q、r分别为b的行和列
void MatrixMultiply(int a[][MAXN], int b[][MAXN], int p, int q, int r)
{
	int sum[MAXN][MAXN];
	memset(sum, 0, sizeof(sum));

	int i, j, k;
	//遍历矩阵a的行
	for (k = 0; k < p; k++)
	{
		//遍历矩阵b的列
		for (j = 0; j < r; j++)
		{
			//对应位置相乘
			for (i = 0; i < q; i++)
			{
				sum[k][j] += a[k][i] * b[i][j];
			}
		}
	}
}

所以a、b两个矩阵相乘的计算量为p*q*r。

枚举所有完全加括号方式

ABCD四个矩阵连乘

1、（A（BCD））——>（A（B（CD））），（A（（BC）D））;

2、（（AB）（CD））——>NULL；

3、（（ABC）D）——>（（A（BC）D）），（（（AB）C）D）;

对于上面四个矩阵来说，枚举方法是：

1、括号加在A和B之间，矩阵链被分为（A）和（BCD）；

2、括号加在B和C之间，矩阵链被分为（AB）和（CD）；

3、括号加在C和D之间，矩阵链被分为（ABC）和（D）；

在第一步中分出的（A）已经不能在加括号了，所以结束；

而（BCD）继续按照上面的步奏把括号依次加在B和C、C和D之间，其他情况相同。

加括号的过程是递归的。

程序实现

//m数组内存放矩阵链的行列信息
//m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）
int Best_Enum(int m[], int left, int right)
{
	//只有一个矩阵时，返回计算次数0
	if (left == right)
	{
		return 0;
	}

	int min = INF; //无穷大
	int i;
	//括号依次加在第1、2、3...n-1个矩阵后面
	for (i = left; i < right; i++)
	{
		//计算出这种完全加括号方式的计算次数
		int count = Best_Enum(m, left, i) + Best_Enum(m, i+1, right);
		count += m[left-1] * m[i] * m[right];
		//选出最小的
		if (count < min)
		{
			min = count;
		}
	}
	return min;
}

备忘录法优化

上图为递归枚举过程，小方块内的1:4代表第1个矩阵至第4个矩阵的完全加括号方式

可以看到黄色方块中有很多重复计算，所以利用备忘录来保存计算结果，在每次进行计算前，

先查表，看是否计算过，避免重复计算。

程序实现

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

#define SIZE 100
#define INF 999999999

int memo[SIZE][SIZE];

//m数组内存放矩阵链的行列信息
//m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）
int Best_Memo(int m[], int left, int right)
{
	//只有一个矩阵时，返回计算次数0
	if (left == right)
	{
		return 0;
	}

	int min = INF;
	int i;
	//括号依次加在第1、2、3...n-1个矩阵后面
	for (i = left; i < right; i++)
	{
		//计算出这种完全加括号方式的计算次数
		int count;
		if (memo[left][i] == 0)
		{
			memo[left][i] = Best_Memo(m, left, i);
		}
		count = memo[left][i];
		if (memo[i+1][right] == 0)
		{
			memo[i+1][right] = Best_Memo(m, i+1, right);
		}
		count += memo[i+1][right];
		count += m[left-1] * m[i] * m[right];
		//选出最小的
		if (count < min)
		{
			min = count;
		}
	}
	return min;
}

int main(void)
{
	int m[SIZE];
	int n;
	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		int i;
		for (i = 0; i < n; i++)
		{
			scanf("%d", &m[i]);
		}
		memset(memo, 0, sizeof(memo));
		printf("%d\n", Best_Memo(m, 1, n-1));
	}
	return 0;
}

动态规划法

以矩阵链ABCD为例

按照矩阵链长度递增计算最优值

矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值

矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值

矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值

矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值

动归方程：

k为矩阵链断开的位置

d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为首，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0

m数组内存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

#define SIZE 100
#define INF 999999999

int m[SIZE];		//存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）
int d[SIZE][SIZE];	//存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]为第i个矩阵到第j个矩阵的矩阵链的最优值，i > 0

int Best_DP(int n)
{
	//把d[i][i]置为0，1 <= i < n
	memset(d, 0, sizeof(d));

	int len;
	//递归计算矩阵链的连乘最优值
	//len = 1，代表矩阵链由两个矩阵构成
	for (len = 1; len < n; len++)
	{
		int i, j, k;
		for (i = 1, j = i+len; j < n; i++, j++)
		{
			int min = INF; //无穷大
			for (k = i; k < j; k++)
			{
				int count = d[i][k] + d[k+1][j] + m[i-1] * m[k] * m[j];
				if (count < min)
				{
					min = count;
				}
			}
			d[i][j] = min;
		}
	}
	return d[1][n-1];
}

int main(void)
{
	int n;
	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		int i;
		for (i = 0; i < n; i++)
		{
			scanf("%d", &m[i]);
		}

		printf("%d\n", Best_DP(n));
	}
	return 0;
}