[Notes][多项式]杂记 · 多项式算法—多项式求逆 多项式取模 多项式开根…

多项式

由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式
形如： f(x)=∑ni=0aixi f ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i ，
deg f(x) deg ⁡   f ( x ) 称为 f f 的度，是 f(x) f ( x ) 最高次项的次数。

生成函数

形如 ∑∞i=0aixi ∑ i = 0 ∞ a i x i
生成函数又称母函数，往往和多项式算法联系起来起到优化转移的作用

多项式算法

加减法

多项式加减法比较简单
若 f(x)=∑ni=0aixi f ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i ， g(x)=∑ni=0bixi g ( x ) = ∑ i = 0 n b i x i

则 (f±g)(x)=∑ni=0(ai±bi)xi ( f ± g ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( a i ± b i ) x i

代码实现也比较简单

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乘法

多项式乘法是所有多项式算法的基础，也是生成函数的卷积运算

若 f(x)=∑ni=0aixi f ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i ， g(x)=∑ni=0bixi g ( x ) = ∑ i = 0 n b i x i

则 (f×g)(x)=∑2ni=0∑ij=0aj×bi−jxi ( f × g ) ( x ) = ∑ i = 0 2 n ∑ j = 0 i a j × b i − j x i

朴素的多项式乘法是 O(n2) O ( n 2 ) 的，但FFT（快速傅里叶变换）运用复数根的特性可以在 O(nlogn) O ( n log ⁡ n ) 的复杂度内实现多项式的系数表达和点值表达的转化，运用点值表达实现 O(n) O ( n ) 的相乘，总复杂度就是 O(nlogn) O ( n log ⁡ n ) ，但是因为常数过大，往往小范围会使用暴力。

inline void FFT(E *a,int r){
  for(int i=0;iif(rev[i]>i) swap(a[rev[i]],a[i]);
  for(int i=1;i1){
    E wn(cos(M_PI/i),r*sin(M_PI/i));
    for(int j=0;j1)){
      E w(1,0);
      for(int k=0;k*wn){
    E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
    a[j+k]=x+y; a[j+k+i]=x-y;
      }
    }
  }
  if(r==-1) for(int i=0;i

运用生成函数的计数问题往往会对一个质数取模，如果这个质数可以表示成 k×2n+1 k × 2 n + 1 ，其中 k k 为奇数 n n 大于多项式的度数，那么就可以用这个质数的原根代替复数根，实现多项式的系数对一个质数取模，这个算法就是NTT（快速数论变换），这种模数称为NTT模数。

inline void Pre(int n){
  num=n;
  int g=Pow(3,(P-1)/num);
  w[0][0]=w[1][0]=1; for(int i=1;i0][i]=1LL*w[0][i-1]*g%P;
  for(int i=1;i1][i]=w[0][num-i];
}

inline void NTT(int *a,int n,int r){
  for(int i=1;iif(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int i=1;i1)
    for(int j=0;j1)
      for(int k=0;kint x=a[j+k],y=1LL*a[j+k+i]*w[r][num/(i<<1)*k]%P;
        a[j+k]=(x+y)%P; a[j+k+i]=(x+P-y)%P;
      }
  if(!r) for(int i=0,inv=Pow(n,P-2);i1LL*a[i]*inv%P;
}

不过有些丧心病狂的题的模数不是NTT模数，这个时候需要CRT合并。

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多项式求逆

比如BZOJ4555

最后会得到 f(x)=f(x)g(x)+1 f ( x ) = f ( x ) g ( x ) + 1 ，这是一个非齐次线性递推，因为求的第n项不大，只要直接求出 f(x) f ( x ) 就行了

很容易可以得到 f(x)=11−g(x) f ( x ) = 1 1 − g ( x ) ，如果令 h(x)=1−g(x) h ( x ) = 1 − g ( x ) ，那么 f(x)=(h(x))−1 f ( x ) = ( h ( x ) ) − 1 ，所以就要求 h(x) h ( x ) 的逆元
求逆元的话网上讲解也有很多，鏼爷集训队论文里也有，大概是用了倍增的做法，摘一下
求 A(x) A ( x ) 的逆元，即是求 B(x) B ( x ) ，使 A(x)B(x)≡1(modx2k) A ( x ) B ( x ) ≡ 1 ( mod x 2 k )

如果我们已经求出 G(x) G ( x ) ， A(x)G(x)≡1(modxn) A ( x ) G ( x ) ≡ 1 ( mod x n )
那么

A(x)G(x)≡1(modxn) A ( x ) G ( x ) ≡ 1 ( mod x n )

A(x)G(x)−1≡0(modxn) A ( x ) G ( x ) − 1 ≡ 0 ( mod x n )

(A(x)G(x)−1)2≡0(modx2n) ( A ( x ) G ( x ) − 1 ) 2 ≡ 0 ( mod x 2 n )

A2(x)G2(x)−2A(x)G(x)+1≡0(modx2n) A 2 ( x ) G 2 ( x ) − 2 A ( x ) G ( x ) + 1 ≡ 0 ( mod x 2 n )

A(x)(2G(x)−A(x)G2(x))≡1(modx2n) A ( x ) ( 2 G ( x ) − A ( x ) G 2 ( x ) ) ≡ 1 ( mod x 2 n )

n=0 n = 0 时，求一下 A(x) A ( x ) 常数项的乘法逆元就可以了

那么用 O(nlogn) O ( n log ⁡ n ) 的复杂度把 B(x) B ( x ) 赋成 2G(x)−A(x)G2(x) 2 G ( x ) − A ( x ) G 2 ( x ) 进入下一层运算就可以了
总复杂度 T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn) T ( n ) = T ( n / 2 ) + O ( n log ⁡ n ) = O ( n log ⁡ n )

void Inv(int *a,int *b,int n){
    if(n==1){
        b[0]=Pow(a[0],P-2); return ;
    }
    Inv(a,b,n>>1);
    for(int i=0;i0;
    int L=0; while(!(n>>L&1)) L++;
    for(int i=1;i<(n<<1);i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<1,1); FFT(b,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)
        tmp[i]=(1LL*b[i]*2+P-1LL*tmp[i]*b[i]%P*b[i]%P)%P;
    FFT(tmp,n<<1,0);
    for(int i=0;i0;
}

应用的话，就是一些解一些现行递推式，或者求伯努利数
预处理伯努利数：http://blog.csdn.net/coldef/article/details/72876762

学习自：http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-inverse

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多项式开根

就是对 A(x) A ( x ) ，求 B(x) B ( x ) ，使 B2(x)≡A(x)(modxn) B 2 ( x ) ≡ A ( x ) ( mod x n )
同样是用倍增的方法。
已求得 G(x) G ( x ) ，使 G2(x)≡A(x)(modxn) G 2 ( x ) ≡ A ( x ) ( mod x n )
那么

B2(x)≡G2(x)(modxn) B 2 ( x ) ≡ G 2 ( x ) ( mod x n )

[B2(x)−G2(x)]2≡0(modx2n) [ B 2 ( x ) − G 2 ( x ) ] 2 ≡ 0 ( mod x 2 n )

B4(x)−2B2(x)G2(x)+G4(x)≡0(modx2n) B 4 ( x ) − 2 B 2 ( x ) G 2 ( x ) + G 4 ( x ) ≡ 0 ( mod x 2 n )

B4(x)+2B2(x)G2(x)+G4(x)≡4B2(x)G2(x)(modx2n) B 4 ( x ) + 2 B 2 ( x ) G 2 ( x ) + G 4 ( x ) ≡ 4 B 2 ( x ) G 2 ( x ) ( mod x 2 n )

[B2(x)+G2(x)]2≡[2B(x)G(x)]2(modx2n) [ B 2 ( x ) + G 2 ( x ) ] 2 ≡ [ 2 B ( x ) G ( x ) ] 2 ( mod x 2 n )

B2(x)+G2(x)≡2B(x)G(x)(modx2n) B 2 ( x ) + G 2 ( x ) ≡ 2 B ( x ) G ( x ) ( mod x 2 n )

A(x)+G2(x)≡2B(x)G(x)(mod22n) A ( x ) + G 2 ( x ) ≡ 2 B ( x ) G ( x ) ( mod 2 2 n )

B(x)≡A(x)+G2(x)2G(x)(mod22n) B ( x ) ≡ A ( x ) + G 2 ( x ) 2 G ( x ) ( mod 2 2 n )

n=0 n = 0 的时候就是 B(x) B ( x ) 的常数项就是1（我也不知道为什么，Manchery说的）
时间复杂度 T(n)=T(n/2)+多项式求逆的复杂度+O(nlogn)=O(nlogn) T ( n ) = T ( n / 2 ) + 多 项 式 求 逆 的 复 杂 度 + O ( n log ⁡ n ) = O ( n log ⁡ n )

void Sqrt(int *a,int *b,int n){
    if(n==1) return void(b[0]=1);
    Sqrt(a,b,n>>1);
    memset(invb,0,sizeof(int)*n); Inv(b,invb,n);
    int L=0; while(!(n>>L&1)) L++;
    for(int i=1;i<(n<<1);i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<for(int i=0;i0;
    FFT(invb,n<<1,1); FFT(tmp,n<<1,1); 
    for(int i=0,inv2=P+1>>1;i<(n<<1);i++) tmp[i]=1LL*tmp[i]*inv2%P*invb[i]%P;
    FFT(tmp,n<<1,0);
    for(int i=0,inv2=P+1>>1;i1LL*b[i]*inv2+tmp[i])%P;
}

学习自： http://www.cnblogs.com/acha/p/6472798.html

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多项式取模

此取模不是指系数取模，而是多项式模多项式

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UPD:
暴力的多项式取模比较简单，
设模多项式为 M(x)=∑ni=0aixi M ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i ，化一下可以得到 xn=∑n−1i=0aianxi x n = ∑ i = 0 n − 1 a i a n x i ，将所有大于 n n 的项带入就行

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对于 A(x) A ( x ) ， B(x) B ( x ) ，设 degA(x)=n,degB(x)=m(m≤n) deg ⁡ A ( x ) = n , deg ⁡ B ( x ) = m ( m ≤ n )
求 D(x) D ( x ) ， R(x) R ( x ) ，满足 A(x)=D(x)B(x)+R(x) A ( x ) = D ( x ) B ( x ) + R ( x )
只要求出 D(x) D ( x ) ，通过多项式加减乘就可以得到 R(x) R ( x )
把 1x 1 x 带入多项式

A(1x)=D(1x)B(1x)+R(1x) A ( 1 x ) = D ( 1 x ) B ( 1 x ) + R ( 1 x )

两边乘 xn x n

xnA(1x)=xn−mD(1x)xmB(1x)+xnR(1x) x n A ( 1 x ) = x n − m D ( 1 x ) x m B ( 1 x ) + x n R ( 1 x )

设 fR(x)=xdegf(x)f(1x) f R ( x ) = x deg ⁡ f ( x ) f ( 1 x )

则

AR(x)=DR(x)BR(x)+xn−degR(x)RR(x) A R ( x ) = D R ( x ) B R ( x ) + x n − deg ⁡ R ( x ) R R ( x )

发现 degR(x)<m deg ⁡ R ( x ) < m

那么

AR(x)≡DR(x)BR(x)(modxn−m+1) A R ( x ) ≡ D R ( x ) B R ( x ) ( mod x n − m + 1 )

AR(x)BR(x)≡DR(x)(modxn−m+1) A R ( x ) B R ( x ) ≡ D R ( x ) ( mod x n − m + 1 )

这样多项式求个逆就可以求出 D(x) D ( x ) 啦
带回去加加减减就可以得到 R(x) R ( x )

inline void Div(int *a,int n,int *b,int m){
  static int tmp[N],A[N],B[N];
  for(int i=0;i1];
  for(int i=0;i1];
  int nn=1,d=n-m+1; for(;nn1;nn<<=1);
  for(int i=n;i0;
  for(int i=d;i0;
  for(int i=0;i0;
  Inv(t,B,nn);
  for(int i=d;i0;
  Mul(A,B,max(n,d));
  for(int i=d;i<=n<<1;i++) A[i]=0;
  for(int i=0;iif(i>d-i-1) swap(A[i],A[d-i-1]);
  for(int i=0;imax(d,m));
  for(int i=0;i

学习自：http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-division

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大致就是这些算法

还有多项式求exp什么的…还不会…先挖个坑

多项式exp

可以参考金策的2015年国家集训队论文

B(x)=eA(x) B ( x ) = e A ( x )

两边同求导

B′(x)=eA(x)A′(x) B ′ ( x ) = e A ( x ) A ′ ( x )

B′(x)=B(x)A′(x) B ′ ( x ) = B ( x ) A ′ ( x )

对于每一项的系数

(i+1)bi+1=∑j+k=ibjak+1(k+1) ( i + 1 ) b i + 1 = ∑ j + k = i b j a k + 1 ( k + 1 )

也就是说

bi=1i∑j=1ijajbi−j b i = 1 i ∑ j = 1 i j a j b i − j

分治FFT

牛顿迭代不会~~

void exp(int *a,int *b,int l,int r){
  if(l==r){
    add(b[l],1LL*inv[l]*a[l]%P); return ;
  }
  int mid=l+r>>1;
  exp(a,b,l,mid); 
  static int tmpa[N],tmpb[N];
  for(int i=l;i<=mid;i++) tmpa[i-l]=b[i];
  for(int i=1;i<=r-l;i++) tmpb[i]=a[i];
  int m,L=0;
  for(m=1;m1;m<<=1,L++); m<<=1;
  for(int i=1;i<m;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<m,1); NTT(tmpb,m,1);
  for(int i=0;i<m;i++) tmpa[i]=1LL*tmpa[i]*tmpb[i]%P;
  NTT(tmpa,m,0);
  for(int i=mid+1;i<=r;i++) add(b[i],1LL*inv[i]*tmpa[i-l]%P);
  for(int i=0;i<m;i++) tmpa[i]=tmpb[i]=0;
  exp(a,b,mid+1,r);
}

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应用

根据生成函数的卷积运算优化转移什么的都很常见
还有就是多项式的多点求值，这玩意看http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-multipoint-eval-and-interpolation
我实现了一下…然而自带大常数，跑的不如暴力…

NOI2017D1T3，就运用了多项式取模来解决线性递推数列的第n项(n很大)，也就是 f(x)=f(x)g(x)+1 f ( x ) = f ( x ) g ( x ) + 1 的第n项，

具体看叉姐论文和Picks的博客
http://www.docin.com/p-724323397.html
http://picks.logdown.com/posts/197262-polynomial-division
codechef rng是模板题，可以在上面看大神代码

其他的用处…惯例先挖个坑

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本人因能力限制，代码仅供参考，如有疑问，欢迎与本人讨论