讲人话系列——分段约束的整数规划问题

概述

运筹学是一个应用广泛的学科，在电商的物流、仓储都会有很多应用。今天我们来讲一个比较特殊的形式“分段约束”，以及如何将分段约束转化标准的整数规划问题。

问题描述

今日主角：整数规划
问题定义：标准整数规划问题下，包含了特殊的分段约束。（x = 0 or x > 1000）
问题举例：供应链入仓推荐、车辆运输规划、采购规划等各种整数规划问题。
技术价值：把看似非线性的问题，转化成标准整数规划，可以快速获取全局最优解。

任务抽象

因为运筹学的问题，不太能像推荐、分类那样讲的过于抽象且生动，这里要抽象无非就是一堆条件求一个最优值，数学能算出来就好了，这样就没太大意思了。所以我先对问题做一个明确的定义。

任务：这里我们以车辆送货为例。
$minz = \sum tij * f(C_i,D_j) ,j \in J，i \in I $

• 上面这个式子里面C代表出发地，D代表目的地，f函数代表两地之间运输过程产生的费用（可计算）,$t_{ij}$代表从运输货物的数量。

任务约束:

• 起送量约束：$s.t.{\sum }_{j\in J}{t}_{ij}>100or=0(i=1,2..)$
• 目的地数量约束：$s.t.{\sum }_{i\in I}{t}_{ij}=NumJ(j=1,2...)$

分析上述问题，可以看到：

1. 最优化目标函数是一个线性函数
2. 分发约束是一个线性约束
3. 起送量约束是一个非线性的分段函数
4. 隐含了一个t变量为整数

如果抛开3来看，就是一个整数规划问题，python pulp了解一下就完事了。我们来看下如果通过一些非常神奇的操作把分段函数转化成线性约束。（这里把非线性的转化成线性了）这样一来，就又可以愉快的当一个调库（算法）工程师了。

如上图所示，我们有一个约束，要不这个值等于0，要不就大于100。这里我们假设这个变量为X。我们引入w，z两组变量，w1,w2都为整数，z也是整数。

• $X=100w2+Mw3$ M为一个非常大的常数。
  下面我们分条件看：
• $z1= 1时，z2 = 0 $此时两种可能
  • $w3=0,w2=0,w1=1$ 此时X=0
  • $w3=0,w2=1,w1=0$ 此时X=100
• $z1=0时，z2=1$
  • $w1=0,w2=1,w3<=1$ 此时X 大于100

分析完毕，此处精妙的地方，就是通过引入z作为一个开关，并通过整数约束z,w来达到分段且单点离散转化为线性约束的目的。（此处掌声！！！）

一点总结

这里的转化确实让我非常震惊，原本以为一个非线性东西，怎么也不可能转化成线性的，都准备走非线性近似解了，后面看到某篇博客做了分段目标函数的介绍想到这么个解法（该博客貌似下线了），事实证明之前太天真了。首先分段函数本身有解决方法，其次整数规划，本身整数部分就是不是完全线性的（借助了分支定界），所以这个转化自然说得通。以后还是要多学习~